Es gibt die Beweismethode der sog.
"vollständigen Induktion".
Die benutzt man oft um Aussagen zu zeigen, die für alle
natürlichen Zahlen gelten. Wie hier bei dir : ... für alle n∈ℕ.
Dann beginnt man mit dem Nachweis, dass es für n=1 stimmt.
Das wäre hier eine Summe mit einem Summanden, da stimmt
es natürlich.
Dann nimmt man an, dass es für ein n gilt und zeigt,
dass daraus folgt, dass es auch für n+1 gilt.
Hier wäre das so:
Angenommen es gilt für alle a1,...,an und für ein n∈ℕ:
( sog. Induktionsannahme)
\( \left|\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\right| \leq\sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right| \)
Wenn du nun n+1 Summanden hast, dann gilt ja
\( \left|\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_{k}\right| =\left|\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k} +a_{n+1} \right| \)
also mit der Dreiecksungleichung
\( \leq \left|\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k} \right| +\left|a_{n+1} \right| \)
also mit der Induktionsannahme:
\( \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \left|a_{k} \right| +\left|a_{n+1} \right| \)
Und das ist ja nun
\( =\sum \limits_{k=1}^{n+1}\left|a_{k}\right| \)
