Knobelaufgabe um zu Beweisen das a^2+b^2+c^2 eine Quadratzahl ist.

Question

Hi.

Jemand einen praktischen Lösungsansatz?

Aufgabe: Die Seitenlängen a,b,c eines Dreiecks seien ganzzahlig, ferner sei eine der Höhen des Dreiecks gleich der Summe seiner beiden anderen Höhen. Man beweise, dass dann a^2+b^2+c^2 eine Quadratzahl ist.

Danke :)

Answer 1

Der Flächeninhalt A des Dreiecks lässt sich als 0,5a*h_a, als 0,5b*h_b und als 0,5c*h_c darstelllen.

Wenn h_c=h_a+h_b gelten soll (dann wäre h_c die längste Höhe und c die kürzeste Seite) , bedeutet das 2A/c=2A/a + 2A/b und somit 1/c=1/a+1/b.

Multiplikation mit abc:

ab=ac+bc

ab=c(a+b)

Vielleicht kommst du damit weiter.

Comments

Leider bin ich genau bis dort gekommen und weiter komme ich irgendwie nicht :(

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\(a^2+b^2+c^2\)

\(=a^2+b^2+\frac{a^2b^2}{(a+b)^2}\)

\(=\frac{(a^2+ab+b^2)^2}{(a+b)^2}\)

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Vielleicht muss man es anders angehen.

Suche mal alle Stammbruche für die

1/c=1/a+1/b

gilt und schließe diejenigen aus, bei denen a, b und c die Dreiecksungleichung nicht erfüllen.

1/1=1/2+1/2 funktioniert beispielweise, 1/2=1/3 + 1/6 funktioniert wegen 6>2+3 aber nicht.

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Vielleicht muss man es anders angehen.

Was willst du denn noch anders angehen - die Lösung steht doch mit mws' Beitrag schon da. Man könnte (für Leute, die es nicht selbst sehen) allenfalls noch den Schritt
...  =  ( (a^2 + 2ab + b^2  -  ab) / (a+b) )^2  =  ( a + b - c )^2  ergänzen

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Hallo ,

ich finde abakus' Überlegung interessant. Wie viele Dreiecke gibt es denn, die die Bedingung erfüllen? Ich vermute, dass es nur die Lösung a=1, b=1 und c=1 gibt. Natürlich auch noch ganzzahlige Vielfache davon.

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Was willst du denn noch anders angehen - die Lösung steht doch mit mws' Beitrag schon da.

@Gast hj2166

Nein, sie steht nicht da. Da steht nur ein quadratischer Term da. Dieser Term ist nicht allgemeingültig ganzzahlig (oder wie verstehst du die Forderung, dass die Summe eine QUADRATZAHL sein soll?)

@mathe_was_sonst

a=1, b=1 und c=1

Du meinst sicher c=1, a=b=2.

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10 + 15 - 6  =  19

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@abakus

Ja, du hast recht mit a=2, b=2, c=1.

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@hj2166

Schönes Beispiel. Wie bist du auf die Zahlen gekommen?

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Die hatte ich in meinem Fundus.
Dort steht z.B. auch  21^2 + 28^2 + 12^2  =  37^2
oder  1/510 + 1/390  =  1/221

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https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Quadrupel