Beweisen oder Widerlegen von Mengenaussagen

Question

Beweisen oder Widerlegen

Für alle Mengen M,N und P gilt: Aus M∪N = M∪P folgt N =P.

und

Für alle Mengen M und N gilt: Aus M∩N= M\N folgt M=∅.

Problem/Ansatz:

Hab mir das mit Diagrammen aufgezeichnet schaffe es aber nicht in der richtigen Mengenschreibweise aufzuschreiben. Kann mir das jemand zeigen?

Answer 1

Für alle Mengen M,N und P gilt: Aus M∪N = M∪P folgt N =P.

Betrachte M = N = {1} und P = ∅.

Für alle Mengen M und N gilt: Aus M∩N= M\N folgt M=∅.

A := [x ∈ M], B := [x ∈ N]

⇔   ( [ {x | (x ∈ M) ∧ (x ∈ N)} = {x | (x ∈ M) ∧ ¬(x ∈ N)} ] ⇒ [ {x | (x ∈ M)} = {x | x ≠ x} ] )
⇔   ( [ {x | A ∧ B} = {x | A ∧ ¬B} ] ⇒ [ {x | A} = {x | x ≠ x} ] )
⇔   ( [ (A ∧ B) ⇔ (A ∧ ¬B) ]    ⇒   (A ⇔ 0) )
⇔   ( [ (A ∧ B) ⇔ (A ∧ ¬B) ]    ⇒  ¬A )

ist eine Tautologie.