Mengenaussagen beweisen

Question

erstmal.

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: 

Gegeben sind die Mengen A und B. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1) A ist Teilmenge von B

2) A = A geschnitten B

3) B = A vereinigt B



Ich hatte folgenden Ansatz:

x sei Element von A

Da A Teilmenge von B ist, muss x auch Element von B sein.

Da x Element von der Menge A als auch von Menge B ist, ist x auch zwangsläufig Element der Schnittmenge beider Mengen und auch Element der Vereinigungsmenge.

Eigentlich müsste die Äquivalenz damit in eine Richtung bereits bewiesen sein oder? Oder habe ich einen Denkfehler?

Außerdem habe ich Probleme den Beweis in die andere Richtung durchführen soll, da mir kein geeigneter Ansatz einfällt.



Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!

Answer 1

Ja das ist schon ganz OK. Ich würde dir raten das noch etwas

stärker zu strukturieren. Etwa so:

1) A ist Teilmenge von B

2) A = A geschnitten B

3) B = A vereinigt B

zu 1==>2:   (Das hast du schon ganz gut gemacht, allerdings musst du

für Mengengleichungen immer zeigen:

x aus 1. Menge ==>  x aus 2. Menge und umgekehrt.)

x sei Element von A. Da A Teilmenge von B ist, 
muss x auch Element von B sein.
Damit ist  x Element von der Menge A als auch von Menge B
also auch x∈A∩B.

ABER:  Um A = A∩B zu zeigen; musst du auch noch bemerken:

Sei andererseits x∈A∩B, dann folgt x∈A und x∈B. 
Also insbesondere   x∈A.

2 ==> 3  Sei x∈B. Dann gilt aber auch x∈A oder x∈B,
somit x∈A∪B.

Sei umgekehrt x∈A∪B. ==>   x∈A oder  x∈B.  
Wegen 2) folgt aber aus x∈A auch n  x∈A und x∈B.  
Somit gilt jedenfalls  x∈B.  Damit ist 3) gezeigt.

3 ==>  1  Sei  x∈A . Also auch  x∈A∪B. 
Wegen 3)  also auch    x∈B.

Durch den Ringschluss  1 ==> 2 ==> 3 ==>1 ist alles

bewiesen.

Answer 2

x sei Element von A

Bevor du so etwas postulierst, solltest du zunächst ein mal die Voraussetzung nennen.

Da A Teilmenge von B ist

Dass A Teilmenge von B ist, scheint eine Voraussetzung zu sein. Dein Beweis hätte also anfangen müssen mit

        Sei A Teilmenge von B.

und erst dann weiter mit

        x sei Element von A.

Da x Element von der Menge A als auch von Menge B ist, ist x auch zwangsläufig Element der Schnittmenge beider Mengen

Dadurch hast du

        Α ⊆ A ∩ B

gezeigt. Damit Α = A ∩ B gilt, muss aber auch

        A ∩ B ⊆ Α

gelten. Das hast du noch nicht gezeigt.

den Beweis in die andere Richtung durchführen

Sei Α = A ∩ B.

Sei a ∈ A.

Zeige, dass dann auch a ∈ B ist (weil dann ist ja A Teilmenge von B).