Äquivalenz beweisen: mod

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Aquivalenz:
∀a, b, m ∈ Z a ≡ b mod m ⇔ ∃t ∈ Z : a − b = t · m

Problem/Ansatz:

∀a, b, m ∈ Z a ≡ b mod m bedeutet, dass a und b kongruent haben, also den selben Rest (Beispiel: 27 mod 8 = 3 = 35 mod 8).
Schön und gut, aber wie Schlussfolgere ich daraus, dass m immer ein Vielfaches von a-b ist (wenn a ≡ b mod m).

Answer 1

\(\Rightarrow\)) \(a\equiv b\) mod \(m\) bedeutet

nach deiner Definition, dass bei Division

von \(a\) und \(b\) durch \(m\) derselbe Rest \(r\) bleibt,

d.h. es gibt \(x,y,r\in \mathbb{Z}\), sodass

\(a-xm=r=b-ym\) ist mit \(0\leq r < m\).

Hieraus folgt:

\(a-b=xm-ym=(x-y)m\). Man nehme also \(t=x-y\).

Für den Beweis der anderen Richtung bist nun du gefragt ...