Gegeben sind folgende empirische Messungen: Wie lautet der Achsenabschnitt

Question

Gegeben sind folgende empirische Messungen:

\( \begin{array}{ccccc} x_{i} & {9.3} & {11.3} & {13.8} & {15.8} \\  z_{i} &  {10.74} & {12.00} & {12.97} & {14.19}\end{array} \)

Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem:

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z=a0+a1x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichungen.

Wie lautet der Achsenabschnitt?

Comments

Hallo

 da da steht Verwendung der Normalengleichung hattet ihr die. Was kannst du denn dann nicht? da muss man doch nur Werte einsetzen?

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die 4 Punkte \((x,y)\) in die Formel \(a_0+a_1\cdot x=y\) einsetzt, erhältst du folgende Vektorgleichung:$$\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\cdot a_0+\left(\begin{array}{c}9,3\\11,3\\13,8\\15,8\end{array}\right)\cdot a_1=\left(\begin{array}{c}10,74\\12\\12,97\\14,19\end{array}\right)$$Die linke Seite kannst du umschreiben:$$\left(\begin{array}{c}1 & 9,3\\1 & 11,3\\1 & 13,8\\1 & 15,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10,74\\12\\12,97\\14,19\end{array}\right)$$Zur Lösung dieses überbestimmten Gleichungssystems gemäß der Methode der kleinsten Fehlerquadrate wird auf beiden Seiten der Gleichung von links die transponierte Matrix multipliziert. Links erhalten wir dadurch eine quadratische Matrix:$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\9,3 & 11,3 & 13,8 & 15,8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 9,3\\1 & 11,3\\1 & 13,8\\1 & 15,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 50,2\\50,2 & 654,26\end{array}\right)$$und rechts einen passenden Vektor:$$=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\9,3 & 11,3 & 13,8 & 15,8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}10,74\\12\\12,97\\14,19\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}49,9\\638,67\end{array}\right)$$Die Normalengleichung lautet daher:$$\left(\begin{array}{c}4 & 50,2\\50,2 & 654,26\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}49,9\\638,67\end{array}\right)$$Als Lösung erhalten wir:

$$\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 50,2\\50,2 & 654,26\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}49,9\\638,67\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}6,74495 & -0,517526\\-0,517526 & 0,041237\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}49,9\\638,67\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}6,045\\0,5124\end{array}\right)$$Die \(y\)-Achse wird also etwa bei \(6,045\) geschnitten.

~plot~ 6,045+0,5124x; [[-1|17|0|15]]; {9,3|10,74}; {11,3|12}; {13,8|12,97}; {15,8|14,19} ~plot~