Funktion an welchen Stellen nicht definiert, nicht stetig, nicht differenzierbar, stetig fortsetzbar?

Question

Aufgabe:

         { $\frac{x² + 3x −10 }{(x − 5) (x − 2)}$  , x ≤ 8, x ≠ 0

f(x) = { − 4             , x = 0

         { x − $\frac{11}{3}$        , x > 8

a) An welchen Stellen ist die Funktion f nicht definiert ?

b) An welchen Stellen ist die Funktion f nicht stetig?

c) An welchen Stellen ist die Funktion f nicht differenzierbar?

d) An welchen Stellen ist die Funktion f stetig fortsetzbar?

Geben Sie die Stelle(n) jeweils als Menge {x₁, x₂, ...} ein. Falls keine entsprechenden Stellen existieren, geben Sie { } ein.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte weiterhelfen

Answer 1

Aloha :)

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}\quad;\quad x\le8\,,\,x\ne0\\ -4 \quad\!\quad\quad\quad ; \quad x=0\\ x-\frac{11}{3}\quad\;\quad;\quad x \gt 8 \end{cases}$$

zu a)

Die Funktion ist nicht definiert bei $x=5$ und bei $x=2$, weil man dann durch $0$ dividieren würde.$$\Rightarrow\text{ nicht definiert für } \{2,5\}$$zu b)

Die Funktion ist unstetig bei ihren Definitionslücken $x=2$ und $x=5$. Weiter gibt es noch die kritischen Übergänge bei $x=0$ und bei $x=8$. Diese schauen wir uns genauer an:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{0+0-10}{(0-5)(0-2)}=\frac{-10}{10}=-1\ne-4$$Gemäß des ersten Falls müsste die Funktion den Punkt $(0|1)$ haben, um bei $x=0$ stetig zu sein. Sie hat aber gemäß des zweiten Falls den Punkt $(0|-4)$. Daher ist die Funktion bei $x=0$ unstetig. Bleibt noch die Betrachtung von $x=8$:$$\lim\limits_{x\nearrow8}\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{64+24-10}{3\cdot6}=\frac{78}{18}=\frac{13}{3}$$$$\lim\limits_{x\swarrow8}\left(x-\frac{11}{3}\right)=8-\frac{11}{3}=\frac{24}{3}-\frac{11}{3}=\frac{13}{3}$$Bei $x=8$ sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich, daher ist die Funktion bei $x=8$ stetig.$$\Rightarrow\text{ unstetig für } \{0, 2, 5\}$$zu c)

Aus Differnzierbarkeit folgt Stetigkeit. Im Umkehrschluss heißt das, aus Unstetigkeit folgt Nicht-Differenzierbarkeit. Wir brauchen also nur noch den Übergang bei $x=8$ auf Stetigkeit zu untersuchen. Dazu bilden wir die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung:

$$\left(\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}\right)'=\left(\frac{(x+5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}\right)'=\left(\frac{x+5}{x-5}\right)'$$$$=\left(\frac{x-5+10}{x-5}\right)'=\left(1+\frac{10}{x-5}\right)'=-\frac{10}{(x-5)^2}$$$$\Rightarrow\;\;f'_-(8)=-\frac{10}{9}$$$$\left(x-\frac{11}{3}\right)'=1\quad\Rightarrow\quad f'_+(8)=1$$Die linksseitige Ableitung $f'_-(8)$ ist ungleich der rechtsseitigen Ableitung $f'_+(8)$, d.h. die Funktion ist auch bei $x=8$ nicht differenzierbar.$$\Rightarrow\text{ nicht differenzierbar für } \{0, 2,5, 8\}$$zu d)

Unter b) haben wir bereits gezeigt, dass sich die Unstetigkeit bei $x=0$ nicht beheben lässt. Bleiben noch die beiden Unstetigkeiten bei den Definitionslücken $x=2$ und $x=5$ zu untersuchen. Dazu schauen wir uns den Fall $x\le8$ der Funktionsgleichung genauer an:$$\frac{x^2+3x-10}{(x-5)(x-2)}=\frac{(x+5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}=\frac{x+5}{x-5}$$Wir können also mit dem Faktor $(x-2)$ kürzen, so die Unstetigkeit bei $x=2$ aufheben und den fehlenden Funktionswert berechnen: $f(2)\to\frac{2+5}{2-5}=-\frac{7}{3}$.$$\Rightarrow\text{ stetig fortsetzbar für } \{2\}$$