Antwort mit KI erzeugt
Lösung: Zeigen, dass \(C\) eine Basis des Untervektorraums \(L\) ist
Wir haben die Funktionen:
- \( f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto 1 \)
- \( f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \cos(2x) \)
- \( f_3: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \sin(x) \)
- \( f_4: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \sin(2x) \)
Ziel: Zeigen, dass \(C = \{ f_1, f_2, f_3, f_4 \}\) eine Basis des Vektorraums \(L = \text{span}(f_1, f_2, f_3, f_4)\) über \(\mathbb{R}\) ist.
Eine Menge von Funktionen \( \{ g_1, g_2, \ldots, g_n \} \) bildet genau dann eine Basis eines Vektorraums, wenn sie:
1. Linear unabhängig sind.
2. Den Vektorraum aufspannen.
1. Linear Unabhängigkeit
Eine Menge von Vektoren/Funktionen ist linear unabhängig, wenn die einzige Lösung der Gleichung
\( a_1 f_1 + a_2 f_2 + a_3 f_3 + a_4 f_4 = 0 \)
die triviale Lösung \( a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0 \) ist.
Setzen wir die Definitionen der Funktionen ein:
\( a_1 \cdot 1 + a_2 \cos(2x) + a_3 \sin(x) + a_4 \sin(2x) = 0 \)
Um diese Gleichung für alle \(x \in \mathbb{R}\) zu erfüllen, müssen die Koeffizienten \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) alle null sein.
Examiniert die einzelnen Teile:
- Der Term \( a_1 \cdot 1 \) ist konstant.
- \( \cos(2x) \) ist eine Funktion mit einer Periode \(\pi\), die von den anderen Teilen unabhängig ist.
- \( \sin(x) \) und \( \sin(2x) \) sind jeweils periodische Funktionen mit unterschiedlichen Perioden.
Da die Funktionen \( f_1, f_2, f_3, f_4 \) verschiedene Frequenzen haben und voneinander extern sind, kann keine der anderen durch eine Linearkombination der anderen ausgedrückt werden.
Somit müssen \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) alle gleich Null sein, um \(0\) zu ergeben. Daher sind diese Funktionen linear unabhängig.
2. Aufspannen des Vektorraums
Wir müssen zeigen, dass jede Funktion \(g\) im Raum \( L \) durch eine Linearkombination von \( \{ f_1, f_2, f_3, f_4 \} \) dargestellt werden kann.
Sei \(g \in L\). Dann existieren Skalare \(b_1, b_2, b_3, b_4 \in \mathbb{R}\) so dass:
\( g(x) = b_1 f_1(x) + b_2 f_2(x) + b_3 f_3(x) + b_4 f_4(x) = b_1 + b_2 \cos(2x) + b_3 \sin(x) + b_4 \sin(2x) \)
Dies zeigt, dass jede Funktion \(g(x)\) im Raum \(L\) durch die Linearkombination der Funktionen in \(C\) dargestellt werden kann.
Schlussfolgerung
Da \(C\) eine Menge von linear unabhängigen Funktionen ist und \(C\) den Raum \(L\) aufspannt, ist \(C\) eine Basis für den Vektorraum \(L\).
Damit ist gezeigt, dass die Menge \(C = \{ f_1, f_2, f_3, f_4 \}\) eine Basis von \(L\) ist.
