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Um zu zeigen, dass \( V := \{\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid \phi \text{ polynomisch}\} \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit der Basis \( \{1, t, t^2, \ldots\} \) ist, gehen wir folgendermaßen vor:
Definition:
Ein Vektorraum ist eine Menge \( V \) zusammen mit zwei Operationen (Addition und Skalarmultiplikation), die die folgenden Axiome erfüllen:
1. Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation.
2. Assoziativität der Addition.
3. Existenz eines Nullelements (das additive Identitätselement, z.B. der Nullvektor).
4. Existenz eines Inverselements für die Addition.
5. Distributivität der Skalarmultiplikation bezüglich Addition.
6. Distributivität der Skalarmultiplikation bezüglich Skalaren.
7. Assoziativität der Skalarmultiplikation.
8. Existenz eines multiplikativen Identitätselements (1).
Schritte zur Lösung:
1.
Abgeschlossenheit und Grundoperationen:
-
Addition: Ist \( \phi_1 \) und \( \phi_2 \in V \) polynomisch, dann ist \( \phi_1 + \phi_2 \) ebenfalls polynomisch, da
\(
\phi_1(t) = a_n t^n + \cdots + a_0 \quad \text{und} \quad \phi_2(t) = b_m t^m + \cdots + b_0
\)
ihre Summe kann als
\(
(\phi_1 + \phi_2)(t) = (a_n t^n + \cdots + a_0) + (b_m t^m + \cdots + b_0)
\)
geschrieben werden, was wieder ein Polynom ist.
-
Skalarmultiplikation: Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( \phi \in V \). Dann ist
\(
(\alpha \cdot \phi)(t) = \alpha \cdot \left( a_n t^n + \cdots + a_0 \right) = (\alpha a_n) t^n + \cdots + (\alpha a_0)
\)
ebenfalls ein Polynom.
2.
Existenz des Nullpolynoms und des additiven Inversen:
- Das Nullpolynom \( \phi_0(t) = 0 \) ist ein Element von \( V \).
- Für jedes Polynom \( \phi(t) = a_n t^n + \cdots + a_0 \) existiert ein additiv inverses Polynom \( -\phi(t) = -a_n t^n - \cdots - a_0 \).
3.
Distributivität, Assoziativität und Identitätselement:
- Die Distributivität und Assoziativität der Addition und die Existenz des Identitätselements \( 0 \) sowie die Distributivgesetze der Skalarmultiplikation folgen den bekannten Eigenschaften der Polynomaddition und -multiplikation.
4.
Basis von \( V \):
- Wir behaupten, dass \( \{1, t, t^2, \ldots\} \) eine Basis für \( V \) bildet.
- Jedes Polynom \( \phi \in V \) kann eindeutig als lineare Kombination von \( 1, t, t^2, \ldots, t^n \) geschrieben werden:
\(
\phi(t) = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \cdots + a_n \cdot t^n
\)
-
Linearunabhängigkeit: Angenommen, es gibt eine nicht-triviale Linearkombination:
\(
c_0 \cdot 1 + c_1 \cdot t + c_2 \cdot t^2 + \cdots + c_n \cdot t^n = 0
\)
Dies bedeutet, dass alle Koeffizienten \( c_0, c_1, \ldots, c_n \) null sein müssen, weil die Polynome einen Nullvektor nur bilden, wenn alle Koeffizienten null sind. Dies zeigt, dass die Elemente linear unabhängig sind.
-
Erzeugendensystem: Jedes Polynom in \( V \) kann als Linearkombination der Elemente in \( \{1, t, t^2, \ldots\} \) dargestellt werden.
Da die Elemente \( \{1, t, t^2, \ldots\} \) linear unabhängig sind und den ganzen Raum \( V \) erzeugen, bilden sie eine Basis von \( V \).
Schlussfolgerung:
Somit haben wir gezeigt, dass \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ist und die Menge \( \{1, t, t^2, \ldots\} \) eine Basis dieses Vektorraums bildet.
