Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion zeigen

Question

Aufgaben:

Aufgabe 1)

$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{falls } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 &\text{falls} (x,y) = (0,0) \end{cases} $$

(x,y) = (0,0)

Lösung:

Im Punkt (0,0) ist f(0,0) = 0

Aber:

$$ \lim\limits_{x\to 0} \left( \lim\limits_{y\to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+2y^2} \right) = \lim\limits_{y\to 0} \frac{x^2}{x^2} = \lim\limits_{y\to 0} 1 = 1$$

$$ \lim\limits_{y\to 0} \left( \lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+2y^2} \right) = \lim\limits_{x\to 0} -\frac{y^2}{2y^2} = \lim\limits_{y\to 0} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $$

$$ 1 \neq -\frac{1}{2} $$

Somit ist f nicht stetig in (0,0) also nicht stetig.

Aufgabe 2:

$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x-y}{x^2+y^2} &\text{falls } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 &\text{falls} (x,y) = (0,0) \end{cases} $$

Problem:

Wenn ich x wie im oben gezeigten Beispiel null setze, erhalte ich \( \frac{1}{y} \). \( \frac{1}{x} = 0 \). Wie aber gehe ich mit \( \frac{1}{y} \) um?

Answer 1

Wenn y gegen 0 geht, geht 1/y gegen unendlich (oder von der anderen Seite gegen minus unendlich).

Comments

Also $$ \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x} = 0 $$ und $$ \lim\limits_{y\to 0}\frac{1}{y} = \infty $$ Verstehe ich das richtig?

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Was willst du jetzt oben mit dem Limes von 1/x ? Du hast geschrieben "Wenn ich x Null setze...".

Dann heißt der verbleibende Term\( \frac{0-y}{0+y^2} \) und ist somit \( \frac{-1}{y} \).

Das kannst du gegen 0 gehen lassen. Ein x ist hier gar nicht mehr da!

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Die Formulierung ist unglücklich gewählt. Ich hatte 'nur' versucht, das zusammenzufassen. Du hast natürlich Recht:

Wenn ich x null setze, passiert im Grunde das, was du beschrieben hast.

Ich fasse zusammen:

$$ 1/x = 0 ; 1/y = \infty $$

Wichtig aber ist vor allem, dass $$ f $$ nicht stetig ist.