mit Taylor:
= x→∞lim( x (1+x1)61 - x (1-x1)61 ) x6 ausklammern
= x→∞lim x [ (1+x1)61 - (1-x1)61 ]
= x→∞lim x [ (1+6x1+o(x21)) - (1-6x1+o(x21)) ]
= x→∞lim x [ (6x1+6x1+o(x21)) ] x kürzen
= x→∞lim [ (61+61+o(x21)) ]
= 62 = 31
Erklärung:
f(h)=(1+h)1/6 = f(1) + hf'(1) +o(h2)
f'(h) = (1+h)-5/6*1/6, also f(0)=1, f'(0)=1/6
also: (1+h)1/6 = 1 + h/6 +o(h2), Konvergenzbereich -1≤x≤1
jetzt schreibe für h=1/x, dann stimmts für große Zahlen:
(1+x)1/6 = 1 + 1/(6x) +o(1/x2)
direkt:
= x→∞lim( x (1+x1)61 - x (1-x1)61 ) x6 ausklammern
= x→∞lim(x a61 - x b61 ) als Abkürzung
=x→∞lim x ( a61 - b61) jetzt 3. binom.
=x→∞lim x (a61+b61)(a61−b61)(a61+b61)
=x→∞lim x (a61+b61)(a62−b62) jetzt (x-y)(x2+xy+y2)=x3-y3 anwenden
=x→∞lim x (a61+b61)(a32+a31b31+b32)(a31−b31)(a32+a31b31+b32)
=x→∞lim x (a61+b61)(a32+a31b31+b32)(a−b)
=x→∞lim x (a61+b61)(a32+a31b31+b32)((1+x1)−(1−x1)) Zähler zusammenfassen, x kürzen
=x→∞lim (a61+b61)(a32+a31b31+b32)2
=(1+1)(1+1∗1+1)2 = 62 = 31