Funktionen Surjektiv, Injektiv, Bijektiv zeigen

Question

nachfolgend stelle ich eine Aufgabe der Ana1 rein, bei der ich Probleme habe und leider gar nicht weiter komme.

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität:

a) f: ℝ→ℝ_≥0 ,f(x) = ||x+2|-|x-1||

b) g: [1, ∞] → [2,∞], g(x)= x+ \( \frac{1}{x} \)

c) h: ℝ→{0,1}, h(x)= { 1 falls (1+x)¹² < 1+12x

                              = { 0 sonst.

Bei c soll das eine große Klammer sein, sodass h(x) =1 oder 0 ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir alle Graphen mit WolframAlpha angezeigt, jedoch weiß ich nicht, wie ich richtig anfangen soll.

Bei c) erkenne ich die Bernoulli-Ungleichung.

Definition Injektiv, Surjektiv:

∀ x₁,x₂ ∈ ℝ :f(x₁ )= f(x₂) ⇒ x₁ = x₂ injektiv

∀ y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ: y = f(x)   surjetiv

Für eure Tipps und Ansätze bin ich dankbar, da dies das erste Blatt ist mit dieses Beweisen und ich leider nicht mit zurecht komme.

Answer 1

f(x) = ||x+2|-|x-1|| Überall stetig, das aus stetigen Funktionen zusammengesetzt.

Nicht surjektiv, da z.B. kein x mit f(x)=4 existiert.

Nicht Injektiv, da z.B.

 f(4)= ||4+2|-|4-1|| = | 6 - 3| = 3  und auch

f(5)=  ||5+2|-|5-1|| = | 7 - 4| = 3  .

Comments

Hallo mathef,

danke für Deine Antwort.

Warum ist es in a) wichtig zu sagen, dass die Funktion stetig ist?

b) Injektiv: da  g(x) = x +\( \frac{1}{x} \)

                    und g(y) = y+ \( \frac{1}{y} \)

surjektiv: nein, da g(x)=3 nicht existiert.

Stimmt das?

für c) habe ich keine Idee

Kannst Du mir da weiter helfen?

---

gut,

die b) habe ich.

Dass c) nicht Injektiv ist, weiß ich auch.

Doch wie zeige ich surjektiv?

Über eure Hilfe würde ich mich freuen :)