ℚ(√7 ) = {a+b√7 : a , b ∈ ℚ } also alle diese Zahlen, alle Zahlen, die so aussehen, die so geschrieben werden können.
Deine letzte Umformung sieht doch so aus: A + B*√7 , A,B∈ℚ . A ist der erste Bruch, B der zweite.
Also hast Du gezeigt dass , 1/(a+b√7) ein Körperelement ist.
Das ist aber nur ein Teil der gestellten Aufgabe.
Du musst zeigen, dass in dem Körper ℚ(√7 ) alle Körperaxiome gelten. Das sind so viele Teilaufgaben wie es Körperaxiome gibt.
u zeigst, dass bezüglich +,* Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz und Eindeutigkeit von Inversen Elementen und Einselement, Kommutativität sowie die Distributivität gelten.
Die Assoziativität lässt sich einfach begründen. Sie gilt in ℚ, also auch in jeder Teilmenge.
Bei andern Axiomen musst du mehr hinschreiben.