a) Zeigen SIe, dass in einem Körper gilt:
x2=1⇔(x=1 oder x=-1)
Ich verwende die Nummerierung der Körperaxiome gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)
1. ⇐
gemäss 2.3. gilt 1*1 = 1. Also: 1^2 = 1
gemäss 2.3. gilt 1*0 = 0 und 0≠1
gemäss 1.4. existiert -1 so dass ((-1) + 1 ) = 0
0=((-1) + 1)(-1) = (-1)^2 + 1*(-1) =(-1)^2 + (-1) wegen Rechtsdistributivität
(-1)^2 ist das additive Inverse von (-1)
Daher (-1)^2 =1
wzbw1.
2. ⇒ Beweis via Widerspruch. geht bestimmt auch kürzer.
Annahme es gibt ein x mit x^2 = 1 und x≠1 und x≠ -1
So gilt x + 1 ≠ 0 und x + (-1) ≠ 0
(x + 1)*(x + (-1)) = x (x + (-1)) + (x + (-1)) = x^2 + x * (-1) + x*1 + (-1) | Links- und Rechtsdistr.
= x^2 + x( (-1) + 1) + (-1)
= x^2 + x *0 + (-1)
=x^2 + (-1) = 0 |da x^2 = 1
Also 2 Elemente von K, die nicht 0 sind, werden miteinander multipliziert und es resultiert 0. Das dürfte ja nicht sein. Nur welches Axiom ist da verletzt?
Nachtrag
Ich habe bis jetzt a*b = 0 mit a≠0 und b≠0.
Gemäss 2.4. gibt es dazu die jeweiligen Inversen a-1 und b-1 so dass a * a-1 = 1 und b * b-1 = 1
a*b = 0 = 1-1 |*a-1 |komm. und ass.
a-1* a*b = a-1 * (1+ (-1)) = a-1 + (-- a-1 ) = 0 |distr. u.a.
1*b = b= 0 |*b-1 komm. und ass.
b*b-1 = 1 = b-1 * 0 = b-1 (1+( -1)) = b-1 + (- b-1)= 0 |distr. u.a.
Also 1 = 0 Widerspruch zu 3.2.
q.e.d. x muss 1 oder -1 sein.