Warum ist 1/(x*((x^2)+1))= (1/x) - (x/((x^2))+1)?

Question

Aufgabe:

Ich verstehe nicht wieso

\( \frac{1}{x*(x^2+1)} \)  = \( \frac{1}{x} \) - \( \frac{x}{x^2+1} \)  ist

Problem/Ansatz:

Habe es mit Partialbruchzerlegung versucht, aber bin nicht weit gekommen :(

Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte

Answer 1

Partialbruchzerlegung ist ne gute Idee:

A/x + (Bx+C)/ (x^2+1) = 1 / (x*(x^2+1) )

<=>  (A(x^2+1) + (Bx+C)*x )/ (x^2+1) = 1 / (x*(x^2+1)

<=>  (Ax^2+Bx^2 + A+Cx )/ (x^2+1) = 1 / (x*(x^2+1)

==>  A+B=0  und C=0 und A=1 ==>     A=1  und B=-1

Passt also !

Comments

Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie du auf  (Bx+C)/ (x2+1) gekommen bist?

Ich hatte Partialbruchzerlegung bisher immer nur mit einem Polynom im Zähler und weil in der Aufgabe nur eine 1 im Zähler steht, komme ich damit nicht wirklich klar :(

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Schau mal dort :

https://gymnasiumseelow.de/unterricht/faecher/ma/13/partialbruchzerlegung_ein.htm

insbesondere das 2. Beispiel im unteren gelben Kasten.

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Ich habe es jetzt verstanden.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst im Zähler eine sogenannte "nahrhafte Null" addieren. Sie ist so gewählt, dass man den Bruch in 2 Summanden auseinanderziehen und die Summanden anschließend kürzen kann:$$\frac{1}{x\cdot(x^2+1)}=\frac{1+\overbrace{x^2-x^2}^{=0}}{x(x^2+1)}=\frac{1+x^2}{x(x^2+1)}-\frac{x^2}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{(x^2+1)}$$

Der erste Bruch wurde mit \((x^2+1)\) gekürzt und der zweite mit \(x\).

Comments

Super, vielen Dank!