Lineare Algebra Thema Körper?

Question

Aufgabe:

Es sei ℚ(\( \sqrt{7} \) )  = {a+\( \sqrt{7b} \) : a , b ∈ ℚ } die Menge der rationalen Zahlen zusammen mit der Wurzel aus 7.

→ Zeigen Sie, dass ℚ(\( \sqrt{7} \) ) ein Körper ist.

Problem/Ansatz:

\( \frac{1}{a+ \sqrt{7b}} \)  = \( \frac{(a- \sqrt{7b})}{(a+ \sqrt{7b}) * (a- \sqrt{7b})} \) = \( \frac{(a- \sqrt{7b})}{(a^2 - 7b^2 )} \)

= \( \frac{a}{(a^2 - 7b^2)} \) + \( \frac{- \sqrt{7}}{(a^2 - 7b^2)} \)b

Ich habe es so gelöst, ist es so richtig ? Und wie kann man die Basis sehen ?

Answer 1

Verbessere das Wurzelzeichen überall. Es geht nur über die 7, nicht über b.

Dann kreise den ersten Bruch in deinem Endergebnis ein und schreibe dran "∈ℚ".

Dann kreise den zweiten Bruch ohne \( \sqrt{7} \) in deinem Endergebnis ein und schreibe dran "∈ℚ".

Also hat dein Ergebnis die Gestalt: A + B*\( \sqrt{7} \) , A,B∈ℚ

Comments

Leider habe ich was "Einkreisen" angeht nicht verstanden.. wie meinst du das genau ? ich habe diese aufgabe dank wikipedia hinbekommen ohne es verstanden zu haben.. https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra) weil anders habe ich keine Quellen gefunden, die diese Aufgabe erklärt. :(

Könntest du es mir vielleicht genau erklären was du da meintest ?

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@rejes:

Verbesser mal die Wurzelstriche und vertausche die Plätze von b und √7 im letzten Term. Dann kann ich es leichter erklären.

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\( \frac{1}{(a+\sqrt{7})} \) = \( \frac{(a-\sqrt{7})}{(a+\sqrt{7}) * (a-\sqrt{7})} \) = \( \frac{(a-\sqrt{7})}{(a^2 - 7^2)} \) = \( \frac{a}{(a^2 - 7^2)} \) + \( \frac{-b}{(a^2 - 7^2)} \) \( \sqrt{7} \)

So?

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ℚ(√7 )  = {a+b√7 : a , b ∈ ℚ } also alle diese Zahlen, alle Zahlen, die so aussehen, die so geschrieben werden können.

Deine letzte Umformung sieht doch so aus: A + B*√7 , A,B∈ℚ . A ist der erste Bruch, B der zweite.

Also hast Du gezeigt dass , 1/(a+b√7) ein Körperelement ist.

Das ist aber nur ein Teil der gestellten Aufgabe.

Du musst zeigen, dass in dem Körper ℚ(√7 ) alle Körperaxiome gelten. Das sind so viele Teilaufgaben wie es Körperaxiome gibt.

u zeigst, dass bezüglich +,* Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz und Eindeutigkeit von Inversen Elementen und Einselement, Kommutativität sowie die Distributivität gelten.

Die Assoziativität lässt sich einfach begründen. Sie gilt in ℚ, also auch in jeder Teilmenge.

Bei andern Axiomen musst du mehr hinschreiben.

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Ach die Körperaxiome müssen wir dann auch beweisen ?

und dann wär die aufgabe sozusagen fertig ? Laut einer Quelle sind die Körperaxiome: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, neutrales Element, inverses Element, Distributivgesetz ? :)

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Ach die Körperaxiome müssen wir dann auch beweisen ?

Ja, genauer: Nachweisen, dass alle Körperaxiome auch für die Teilmenge ℚ(√7 ) gelten ( * und +).

Manche gehen in einer Zeile: z.B. Komm.gesetz:

"Gilt in ℚ, also auch in jeder Teilmenge, also in ℚ(√7 ) ."

Vergiss die Abgeschlossenheit nicht! Das ist die Basis aller Argumente!

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Ok ich versuche es mal, Danke ! :)