Mit geometrischen Überlegungen am Einheitskreis und Einschliesskriterium zu limes_(h->0+) sin(h) / h = 1.

Question

Wie löst man diese Aufgabe?

Mit geometrischen Überlegungen am Einheitskreis und Einschliesskriterium zu limes_(h->0+) sin(h) / h = 1.

Text erkannt:

\( Q \)
a) Welche Strecken haben die Längen \( \sin (h), \cos (h), \frac{\sin (h)}{\cos (h)} ? \)
b) Erläutere durch einen Flächenvergleich: \( \sin (h) \leq h \leq \frac{\sin (h)}{\cos (h)} \)
c) Bestimme  \( \lim \limits_{h \rightarrow 0+} \frac{\sin (h)}{h} \) beispielsweise mithilfe des Einschließungskriteriums.

Bemerkung. Man darf verwenden, dass \( \lim \limits_{h \rightarrow 0+} \cos (h)=1 \) (was geometrisch zumindest plausibel sein sollte).
Bemerkung. \( \lim \limits_{h \rightarrow 0-} \frac{\sin (h)}{h} \) kann man analog bestimmen.

Answer 1

In dem Inneren rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten sin(h) und cos(h) .

Das h ist die Länge des Kreisbogens und wegen der Ähnlichkeit des inneren und des

äußeren Dreiecks gilt  sin(h) / cos(h) = Länge der senkrechten

Kathete im äußeren Dreieck.

Und inneres Dreieck  ≤  Kreissektor  ≤  äußeres Dreieck  gibt

sin(h)*cos(h) / 2  ≤     h/2            ≤   (sin(h) / cos(h) ) * 1  / 2

<=>   sin(h)*cos(h)  ≤     h           ≤   (sin(h) / cos(h) )

und weil cos(h) ≤1 ist also

           sin(h)  ≤     h           ≤   (sin(h) / cos(h) ) .

und damit auch

           1        ≤       h / sin(h)            ≤   cos(h)

und für h gegen 0+ also

         1        ≤   lim (h gegen 0+)    h / sin(h)            ≤   lim (h gegen 0+) cos(h) = 1

und somit (Einschließungskrit.)      lim (h gegen 0+)    h / sin(h)   = 1

und damit auch der Grenzwert des Kehrwertes.

Comments

Welche Aufgabe ist das?

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Wie kann ich das mit dem Flächenvergleich machen? Bei b) ?

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Flächenvergleich:

inneres Dreieck  ≤  Kreissektor  ≤  äußeres Dreieck 

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Wie bekomme ich den Flächeninhalt des Größenwahn dreiecks raus?

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Beim rechtwinkligen Dreieck:

A = 1.Kathete * 2. Kathete / 2

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Der Schritt

sin(h)  ≤   h   ≤  (sin(h) / cos(h) )            <=>          1   ≤    h / sin(h)   ≤  cos(h)

ist nicht ganz richtig ausgeführt worden.

Wenn man mit sin(h) kürzt, dann steht rechts sin(h)/(cos(h)*sin(h)). Gekürzt ergibt sich 1/cos(h) und nicht cos(h).

Also richtig würde es aussehen: 1  ≤    h / sin(h)  ≤  1/cos(h).

Bildet man dann den Kehrwert der Funktionen bekommt man die für die Aufgabe benötigte Ungleichung:

1  ≤   sin(h)/h  ≤   cos(h).

Und da für die Grenzwerte gilt, dass

lim(h gegen 0+) (1)=1 und lim(h gegen 0+) (cos(h))=1 [nach Voraussetzung]

muss auch lim(h gegen 0+) (sin(h)/h)=1 gelten, da sin(h)/h von den anderen beiden Funktionen eingeschlossen wird [Einschließungskriterium!!].