Gleichungen Lösen und Unbekannte ausrechnen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung von:

a) \( \frac{a+x}{b+x} \) + \( \frac{b+x}{a+x} \) = \( \frac{5}{2} \)

b) \( x^{4} \) + a\( x^{2} \) + b = 0

c) von der Gleichung \( x^{2} \) + 4\( x^{} \) + q = 0 sei eine Lösung x1 = 1 bekannt. Bestimmen Sie q und die zweite Lösung.

Answer 1

Aufgabe 2)

\( \begin{array}{ll}{x^{4}+a x^{2}+b=0} & {x^{2}=z} \\ {z^{2}+a z+b=0} & {\text { pq - Formel }}\end{array} \)

\( z_{1 / 2}=-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b} \)

Resubstitution : x^2=z

\( x=\pm \sqrt{-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b}} \)

Answer 2

A) Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner 2(a+b)(a-b):

2[(a+x)²+(b+x)²]=5(a+x)(b+x)

Ausmultiplizieren:

2a²+4ax+2x²+2b²+4bx+2x²=5ab+5ax+5bx+5x²

Zusammenfassen

0=x²+ax+bx+5ab -2a²-2b²

oder 0=x²+(a+b)x+5ab-2a²-2b²

pq-Formel

x1/2=-(a+b)/2±√[(a+b)²/4-5ab+2a²+2b²]

Die Wurzel kann noch vereinfacht werden zu ±\( \sqrt{\frac{(3a-b)^2}{4}} \) =±(3a+b)/2.

Comments

die richtige Lösung ist:

\( x=a-2 b, \quad a-b \neq 0 \)

\( x=b-2 a, \quad a-b \neq 0 \)

Answer 3

Aufgabe c)

$$x^2-4x+q=0\\ x_{1/2}=-2\pm \sqrt{4-q}\\ x_1=1⇒-2\pm \sqrt{4-q}=1\\ \pm \sqrt{4-q}=3\qquad |()^2\\ 4-q=9\\-q=5\\q=-5$$

Gruß, Silvia

Answer 4

a) D = ℝ \ {-a, -b}

Substituiere u:= (a+x)/(b+x)

Dann hast du

u + 1/u = 5/2          | * u

u^2 + 1 = 2.5 u

usw.

Später Rücksubstitution nicht vergessen.

[spoiler]

Übrigens: 2 + 1/2 = 5/2 und zudem gilt auch 1/2 + 1/(1/2) = 5/2