Differentialgleichung lösen: 2* x^(3) * y´- x^(2) * y - x^(7/2) = 0

Question

Aufgabe:

Differentialgleichung lösen:

2* x^(3) * y´- x^(2) * y - x^(7/2) = 0.

Answer 1

\( 2 x^{3}*y^{\prime}-x^{2} y-x^{7 / 2}=0 \quad |+x^{\frac{7}{2}} \)

\( 2 x^{3} \cdot y^{\prime}-x^{2} y=x^{7 / 2} \quad |:2 x^{3} \)
\( y^{\prime}-\frac{y}{2 x}=\frac{\sqrt{x}}{2} \)

\( y^{\prime}-\frac{y}{2 x}=0 \)

\( \frac{d y}{d x}=\frac{y}{2 x} \)
\( \begin{array}{rl}{2 \frac{d y}{y}} & {=\frac{d x}{x}} \\ {2} & {\ln |y|=\ln |x|+C \quad |: 2} \\ {\ln |y|} & {=\frac{1}{2}(\ln |x|+c)} \\ {|y|} & {=e^{\frac{1}{2} \ln |x|}* e^{c}} \\ {y_{h}} & {=c_{1} \cdot \sqrt{x}}\end{array} \)

Comments

Vielen Dank aber wenn ich weiter rechne schaffe ich es nicht C(x) verschwinden zu lassen, ich wäre dir sehr dankbar wenn du die Aufgabe weiter rechnen würdest :)

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\( c_{1}=C(x) \)

\( y_{p}=C(x) \cdot \sqrt{x} \)
\( y_{p}'=C'(x) √_{x} \quad+C(x) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \)

 ---->yp ,yp' in die DGL einsetzen:

\( C^{\prime}(x) \sqrt{x}+C(x) \frac{1}{2  √x}-\frac{C(x) √ x}{2 x}=\frac{\sqrt{x}}{2} \)

C'(x) √x= √x/2

C'(x) =1/2

C(x)=x/2

yp= x/2 *√x =x^(3/2)

y=yh +yp

y=C₁ √x + 1/2 * x^(3/2)