DGL/charakt. Polynom-keine Nullstelle

Question

wisst ihr wie man verfährt, wenn das charakt.Polynom keine Nullstellen hat:  y´´ + 4y´ + 5y = 2e^(-x) ; Vielen Dank.

Problem/Ansatz:

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Answer 1

Hallo

 es hat nicht keine, sondern komplexe Nullstellen, du bekommst also als Lösung e^(at+-ibt) =e^at*(cos(bt)+isin(bt)

oder einfach die 2 Lösungen C1*e^at *cos(bt) und C2**e^at *sin (bt)

bzw. die Summe dieser 2.

Gruß lul

Answer 2

1. charakteristische Gleichung: k^2+4k +5=0

k_1.2= -2 ± i

 y_H= C₁ e^(-2x) cos(x) +C₂ e^(-2x) sin(x)

2. yp=A e^(-x)

3. yp 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

yp'= -A e^(-x)

yp''= A e^(-x)

A e^(-x) -4 A e^(-x) +5A e^(-x) = 2 e^(-x)

2 A e^(-x) =2 e^(-x) | :e^(-x)

2A= 2 ->A=1

4.  Ergebnis: y=yh+yp

\( y(x)=c_{1} e^{-2 x} \sin (x)+c_{2} e^{-2 x} \cos (x)+e^{-x} \)