Gleichung in den komplexen Zahlen w^2 = z allgemein lösen und eine Quadratwurzel von z=√2/2 + i*√2/2

Question

hier meine Frage :

Sei z=a+ib∈C mit b≥0 . Setzen Sie w=x+iy und machen den Ansatz w^2=z . Bestimmen Sie daraus durch schulmäßiges Lösen von quadratischen! Gleichungen x,y so, dass x , y≥0 . Machen Sie anschließend die Probe, dass tatsächlich w^2=z und finden Sie so konkret eine Quadratwurzel von
z=sqrt2/2 + i*sqrt2/2

Ich mühe mich schon seit diversen Stunden ab, um auf irgendwelche brauchbaren Terme zu kommen aber es will nicht werden.

Freue mich über jeden Ansatz!

Beste Grüße, Sebastian

Comments

hallo

meinst du vielleicht, dass w 2=z so heißen soll: w²=z

?

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exakt, hab es editiert,Sorry !

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Unter z=sqrt2/2 + i*sqrt2/2 kann man sich auch nicht viel vorstellen!

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Naja, also sqrt = Kürzel für Quadratwurzel, / heißt allgemein geteilt durch und i ist in den komplexen Zahlen auch kein Unbekannter...

Answer 1

guckst du hier:

\(
(x+iy)^2 = a + ib \\
x^2 + 2xyi - y^2 = a + ib \\
2xy = b \ \rightarrow x = \frac{b}{2y}\\
x^2-y^2 = a \\
\left( \frac{b}{2y}  \right)^2 - y^2 = a\\

y^4 + ay^2 - b^2/4 = 0 \\
y^2 = u \\
u^2 + au - b^2/4 = 0 \\
u = \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2} \\
y = \sqrt u \\
y = \frac{\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2} \rightarrow x = \frac{b}{2y} = \frac{b}{2}\cdot \frac{1}{y} = \frac{b}{2}\cdot \frac{\sqrt 2}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} = \frac{b}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} \\
\underline {\underline{ x = \frac{b}{\sqrt 2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}}}\\ \\ \\
\underline {\underline{ y = \frac{ \sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2} }} \\ \\
mit \ (x+yi)^2 = a+bi \\ d.h. \\

\left( \frac{b}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} +
\frac{i\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2}  \right)^2 = a + bi
\)
probe:

\( \\
\left( \frac{b}{\sqrt 2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} +  \frac{ i\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2}  \right)^2 = \\

\left( \frac{b}{\sqrt 2} \cdot\frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} \right)^2 + 2\cdot\frac{b}{\sqrt 2} \cdot\frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} \cdot\frac{i\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2} + \left(    \frac{i\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2}  \right)^2 =

\frac{b^2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}-a}   +  \frac{b}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}  \cdot i\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a} +     \frac{i^2  \sqrt{a^2+b^2}-a}{2}    =  \\

\frac{b^2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}-a} + \frac{i^2  \sqrt{a^2+b^2}-a}{2} + bi = \\
\frac{b^2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}-a} + \frac{a - \sqrt{a^2+b^2}}{2} + bi = \\
\frac{b^2}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + \frac{(a - \sqrt{a^2+b^2})(\sqrt{a^2+b^2}-a)}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + bi = \\
\frac{b^2}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + \frac{a\sqrt{a^2+b^2}-a^2-(a^2+b^2)+a\sqrt{a^2+b^2}}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + bi = \\
\frac{b^2}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + \frac{2a\sqrt{a^2+b^2}-2a^2-b^2}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + bi = \\
\frac{2a\sqrt{a^2+b^2}-2a^2}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + bi =  \\
\frac{2a(\sqrt{a^2+b^2}-a)}{2(\sqrt{a^2+b^2}-a)} + bi = \\
a+bi

\)
bingo! :-)

den zweiten teil kannst du ja selbst probieren.

gruß

gorgar

Comments

Besten Dank!
Der Ansatz 2xy=b und x^2-y^2=a hat mir gefehlt, bin ich nicht drauf gekommen, die Teilterme gleich a,b zu setzen.

VG Seb

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Was übersehe ich hier?

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leider hast du oben schon beim ansatz irgend etwas falsch
eingesetzt, die vierte zeile ist noch richtig.
z.b. darfst du nicht einfach y = √2/2 setzen.
das y sowie das x muss ja erst noch berechnet werden.
wenn du das ganze unbedingt noch einmal(*) von vorn durchrechnen willst,
dann müsste der ansatz ungefähr so aussehen:

2xy = √2/2
x = √2/(4y)

x² - y² = √2/2
(√2/(4y))² - y² = √2/2
2/(16y²) - y² = √2/2
1/(8y²) - y² = √2/2
1/8 - y^4 = y²√2/2
y^4 + y²√2/2 - 1/8 = 0

(*)
wir hatten doch x und y bereits berechnet.
du könntest die fertige formel nutzen und bräuchtest nur noch
den wert 1/√2 für a und b einzusetzen. also a = b = 1/√2.
bedenke ruhig dabei, dass √2/2 = 1/√2 ist. das spart so manchen
rechenschritt.
√2/2 = (√2√2)/(2√2) = 2/(2√2) = 1/√2.

---

P.S.

$$
(x+iy)^2 = a + ib \\
(x+iy)^2 = \frac{\sqrt 2}{2} + i\frac{\sqrt 2}{2} \\
x+iy = \sqrt{\frac{\sqrt 2}{2} + i\frac{\sqrt 2}{2}} \\
$$
wir suchen also die wurzel aus \( \frac{\sqrt 2}{2} + i\frac{\sqrt 2}{2}. \)
die können wir berechnen, indem wir x und y berechnen.
gesucht: x, y. dafür hatten wir eine formel entwickelt:
$$
x = \frac{b}{\sqrt 2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}\\
y = \frac{ \sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2} \\
$$
hier brauchen wir also nur noch a und b einzusetzen, mit
\(  a = b = \frac{\sqrt 2}{2} = \frac{1}{\sqrt 2}. \)
in der formel kommt jeweils der unangenehm aussehende term
\( \sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a} \) vor.
wir setzen a und b ein und erhalten als zwischenergebnis
$$
\sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a} =  \sqrt {\sqrt{(\frac{1}{\sqrt 2})^2+(\frac{1}{\sqrt 2})^2}-\frac{1}{\sqrt 2}} =  \\
\sqrt {\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{\sqrt 2}} =  \\
\sqrt {1-\frac{1}{\sqrt 2}} = \sqrt {\frac{\sqrt 2 - 1}{\sqrt 2}} =
\frac{(\sqrt 2 - 1)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{4}}} \\
$$
das setzen wir in die formeln für x und y ein, erstmal für x
$$
x = \frac{b}{\sqrt 2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}}\\
x = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt 2}\cdot \frac{1}{\frac{(\sqrt 2 - 1)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{4}}}} =\\
x = \frac{1}{2}\cdot \frac{2^{\frac{1}{4}}}{(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}} \\
x = \frac{2^{\frac{1}{4}-1}}{(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}} \\
x = \frac{1}{2^{\frac{3}{4}}(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}} \\
x = \frac{1}{\sqrt[4]{8}\sqrt{\sqrt{2}-1}} \\
x \approx 0.9239 \\
$$
jetzt für y
$$
y = \frac{ \sqrt {\sqrt{a^2+b^2}-a}}{\sqrt2} \\
y = \frac{\frac{(\sqrt 2 - 1)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt2} \\
y = \frac{(\sqrt 2 - 1)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{4}}2^{\frac{1}{2}}} \\
y = \frac{\sqrt{(\sqrt 2 - 1)}}{\sqrt[4]{8}} \\
y \approx 0.3827\\
\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{8}\sqrt{\sqrt{2}-1}} + i\frac{\sqrt{\sqrt 2 - 1}}{\sqrt[4]{8}} \approx
0.9239 + 0.3827i
$$

gutes gelingen!

gruß

gorgar