Beweis, dass ein Unterraum endlich erzeugt ist.

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Menge W:= {f in V| f(n) + f(n+1) + f(n+2) = 0. für alle n in N}

V ist dabei ein Vektorraum und f eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen.

Problem/Ansatz:

Ich habe schon gezeigt, dass W ein Untervektorraum ist und, wenn f(1) = g(1) und f(2) = g(2) g=f ist.

Nun soll ich zeigen, dass W endlich erzeugt ist und die Dimension bestimmen. Ich weiß, dass ich eine Basis ausfindig machen muss, allerdings hab ich das bisher nur für Vektoren gemacht und nicht für Funktionen.

Comments

Ich kann dir leider nicht helfen... sitze an der gleichen Aufgabe und habe Probleme f(1)=g(1) und f(2)=g(2) folgt f=g zu beweisen. Wie hast du das denn gemacht? Also wie bist du da drangegangen?

---

Habs mit vollständiger Induktion gemacht, also das gegebene für n=1 genommen und das dann für n+1 gezeigt.

Answer 1

... allerdings hab ich das bisher nur für Vektoren gemacht ...

Dann kommt hier die gute Nachricht: die Funktionen sind in diesem Fall Vektoren, da sie Elemente eines Vektorraumes sind.

wenn f(1) = g(1) und f(2) = g(2) g=f ist

Das heißt, dass jede Funktion aus W durch die Bilder von 1 und 2 eindeutig bestimmt ist.

Sei f_a,b ∈ W mit f_a,b(1) = a und f_a,b(2) = b.

Begründe, dass B := {f_1,0, f_0,1} eine Basis von W ist.

V ist dabei ein Vektorraum

Du solltest vielleicht auch erwähnen, welcher Körper dem Vektorraum zugrunde liegt. Aus der Aufgabenstellung ist klar, dass V nicht als ℚ-Vektorraum gemeint sein kann, weil die Behauptung dann nicht stimmen würde. Das ist aber kein mathematisches Argument, sondern beruht auf der Erfahrung, dass Aufgaben im Allgemeinen so gestellt werden, dass sie lösbar sind. Aus dieser Erfahrung heraus habe ich V als ℝ-Vektorraum aufgefasst.

Comments

Vielen Dank, ja V ist dabei ein R-Vektorraum, hatte ich vergessen zu erwähnen.