Matrizengleichung lösen: B * X^{-1} * A^{-1} = I

Question

Hallo :)

ich komm bei der folgenden Matrizengleichung nicht weiter:

Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung:

B * X^-1  * A^-1 = I

Dabei sind die Matrizen A,B,X ∈ M (n x n) invertierbar.

Es gelten die folgenden Sätze:

A * B ist regulär : (A * B)^-1 = B^-1 * A^-1

A^-1 ist regulär: (A^-1)^-1 = A

A^T ist regulär: (A^T)^-1 = (A^-1)^T

LG Roma

Answer 1

Vorausgesetzt, dass auch die Matrix I invertierbar ist:

B * X ^{- 1}  * A ^{- 1} = I

Von links mit B ^{- 1} multiplizieren:

<=> X ^{- 1}   * A ^{- 1} = B ^{- 1} * I

Von links mit X multiplizieren:

<=> A ^{- 1} = X * B ^{- 1} * I

Von rechts mit I ^{- 1} multiplizieren:

<=> A ^{- 1}  * I ^{- 1} = X * B ^{- 1}

Von rechts mit B multiplizieren:

<=> A ^{- 1}  * I ^{- 1} B = X

<=> ( I * A ) ^{- 1} * B = X

Comments

Prima gezeigt. Ich hatte mich gestern schon gefragt ob I vielleicht die Identitätsmatrix sein soll. Aber so ist das ganz allgemein und pauschal für alle I gezeigt.

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Dass  I  invertierbar ist, muss man nicht zusätzlich voraussetzen. Das folgt bereits daraus, dass  A, B  und  X  invertierbar sein sollen.