Sei ℝ3 ein Vektorraum. Gegeben sei ferner U := {(1,-1,0),(1,1,0)} ⊂ ℝ3 .
Zeigen Sie, dass span(U) = {(x,y,0),x,y ∈ ℝ} (Manchmal auch L(U) genannt)
Problem/Ansatz:
Meine Lösung:
U⊂ℝ3 also ist der minimalste Unterraum definiert als L(U) ={v= ∑(ai * ui) [von i=1 bis n] mit ai ∈ ℝ, ui ∈ ℝ}
(1,-1,0) ist Element von U, also gilt: L(U) = ∑ ai * (1,-1,0) [von i=1 bis n]
Jetzt kann man (1,-1,0) aus der Summe ziehen: L(U) = (1,-1,0) * ∑ ai [von i=1 bis n]
Man sieht, dass das Skalar a∈ℝ und jede Spalte des Vektors aus U damit multipliziert wird. Daraus folgt: L(U) = {(x,y,0) , x,y∈ℝ}
q.e.d
Ist das ein korrekter und vollständiger Beweis der Aussage?
MFG