Untervektorraum Beweis korrekt?

Question

Sei ℝ³ ein Vektorraum. Gegeben sei ferner U := {(1,-1,0),(1,1,0)} ⊂ ℝ³ .

Zeigen Sie, dass span(U) = {(x,y,0),x,y ∈ ℝ} (Manchmal auch L(U) genannt)

Problem/Ansatz:

Meine Lösung:

U⊂ℝ³   also ist der minimalste Unterraum definiert als L(U) ={v= ∑(a_i * u_i) [von i=1 bis n] mit a_i ∈ ℝ, u_i ∈ ℝ}

(1,-1,0) ist Element von U, also gilt: L(U) = ∑ a_i * (1,-1,0) [von i=1 bis n]

Jetzt kann man (1,-1,0) aus der Summe ziehen: L(U) = (1,-1,0) *  ∑ a_{i   [von i=1 bis n]}

Man sieht, dass das Skalar a∈ℝ und jede Spalte des Vektors aus U damit multipliziert wird. Daraus folgt: L(U) = {(x,y,0) , x,y∈ℝ}

q.e.d

Ist das ein korrekter und vollständiger Beweis der Aussage?

MFG

Answer 1

Hallo

dein erster Satz ist schon falsch , du addierst Zahlen aus R und bekommst Vektoren?

du verwendest ja nur einen Vektor, behauptest also du kannst (x,y,0) nur aus (1,-1,0)*Zahl erzeugen, ich kann damit nur Vektoren der Form

r*(x,-x,0) erzeugen.

gib einfach zu jedem x,y eine Linearkombination  a*(1,1,0)+b(1,-1,0)=(x,y,0)  (a und b hängen natürlich von x und y ab)

Gruß lul

Comments

span(U) ={ a* (1,-1,0) + b* (1,1,0)} a,b ∈ℝ

={(a,-a,0)+(b,b,0)} a,b∈ℝ

Und weiter ?

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Danke, hab’s nun verstanden,!

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Hey , ich wollte die fragen wie du denn jetzt Vorgegangen bist? Vielleicht wärst du so lieb und könntest vielleicht kurz erklären was du gemacht hast