Antwort mit KI erzeugt
Fragestellung: Limes Superior und Inferior bestimmen (Analysis)
<p>Aufgabe:</p>
<p>Es seien zwei Folgen durch \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} = (0,1,2,1,0,1,2,1,0,1,2,1,\ldots) \) und \( (y_n)_{n \in \mathbb{N}} = (2, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0, \ldots) \) definiert. Bestimmen Sie jeweils den Limes Superior und Inferior für \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \), \( (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( (x_n + y_n)_{n \in \mathbb{N}} \).</p>
Lösung:
1.
Folge \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \):
- Die Folge \( (x_n) \) wiederholt sich alle 5 Elemente: \( 0, 1, 2, 1, 0 \).
Limes Superior \( \limsup(x_n) \):
- Der Limes Superior ist das größte Häufungspunkt der Folge.
- Nach genauer Betrachtung ist der größte Wert der Folge \( 2 \).
- Somit ist \( \limsup(x_n) = 2 \).
Limes Inferior \( \liminf(x_n) \):
- Der Limes Inferior ist das kleinste Häufungspunkt der Folge.
- Nach genauer Betrachtung ist der kleinste Wert der Folge \( 0 \).
- Somit ist \( \liminf(x_n) = 0 \).
2.
Folge \( (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \):
- Die Folge \( (y_n) \) wiederholt sich alle 4 Elemente: \( 2, 1, 1, 0 \).
Limes Superior \( \limsup(y_n) \):
- Der größte Wert der Folge ist \( 2 \).
- Somit ist \( \limsup(y_n) = 2 \).
Limes Inferior \( \liminf(y_n) \):
- Der kleinste Wert der Folge ist \( 0 \).
- Somit ist \( \liminf(y_n) = 0 \).
3.
Folge \( (x_n + y_n)_{n \in \mathbb{N}} \):
Wir betrachten die Summe der beiden Folgen:
- \( (x_n + y_n) \) wiederholt sich alle 20 Elemente. Es ergibt sich aus den Werten von \( x_n \) und \( y_n \) auf den entsprechenden Positionen.
Wir betrachten einige der ersten Summen:
- \( (x_0 + y_0) = 0 + 2 = 2 \)
- \( (x_1 + y_1) = 1 + 1 = 2 \)
- \( (x_2 + y_2) = 2 + 1 = 3 \)
- \( (x_3 + y_3) = 1 + 0 = 1 \)
- \( (x_4 + y_4) = 0 + 2 = 2 \)
- \( (x_5 + y_5) = 1 + 1 = 2 \)
- \( (x_6 + y_6) = 2 + 1 = 3 \)
- \( (x_7 + y_7) = 1 + 0 = 1 \)
\( \vdots \) (es geht fortlaufend so weiter)
Limes Superior \( \limsup(x_n + y_n) \):
- Der größte Wert der addierten Folge ist \( 3 \).
- Somit ist \( \limsup(x_n + y_n) = 3 \).
Limes Inferior \( \liminf(x_n + y_n) \):
- Der kleinste Wert der addierten Folge ist \( 1 \).
- Somit ist \( \liminf(x_n + y_n) = 1 \).
Zusammenfassung:
- \( \limsup(x_n) = 2 \)
- \( \liminf(x_n) = 0 \)
- \( \limsup(y_n) = 2 \)
- \( \liminf(y_n) = 0 \)
- \( \limsup(x_n + y_n) = 3 \)
- \( \liminf(x_n + y_n) = 1 \)
