Umkehrfunktion erstellen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion folgender Funktionen, sowie deren zugehörigen Definitions und Wertebereich.

Problem/Ansatz:

(b) \( g: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}: g(x)=3 x^{2} \)

(c) \( h: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}: h(x)=\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \)

Bei b) glaube ich den Werteberich auf ebenfalls R>0 einschränken zu müssen. c? Aber wie komme ich auf die Umkehrfunktion? Vielleicht kann mir jemand helfen! :-)

Answer 1

(b) g:R_>0→R:g(x)=3x²

y=3x²

y/3=x²

x= \( \sqrt{\frac{y}{3}} \)

g^-1(x)= \( \sqrt{\frac{x}{3}} \).  

(c) h:R>0→R:h(x)=1/2·√(1+1/x²)

y=1/2·√(1+1/x²)

2y=√(1+1/x²)

4y²=1+1/x²

4y²-1=1/x²

x²=1/(4y²-1)

x= \( \sqrt{\frac{1}{4y^2-1}} \)

h^-1(x)=\( \sqrt{\frac{1}{4x^2-1}} \) .  

Comments

Kannst du mir nur noch weiterhelfen, wie du von 4y²-1=1/x²  auf dieses 1/(4y²-1) kommst? Oben bei 1/2 hast du mit 2 mulitpliziert, dann fällt 1/2 weg. Aber das unter versteh ich nicht.

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4y²-1=1/x²       |·x²

(4y²-1)·x²=1    |:(4y²-1)

x²= 1/(4y²-1)

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ah ok danke vielmals.

Answer 2

zu c)

$$h(x)=\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\qquad \bar{h}(x)=\sqrt{\frac{1}{4x^2-1}}$$

https://www.desmos.com/calculator/gy7j3uc4dr

Funktion h(x) rot

Umkehrfunktion grün