Aufgabe:
Für natürliche Zahlen \( N \) sollen die Reihen
$$ \sum \limits_{N}:=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k-1) !}{(k+N) !}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k+1} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{k+N} $$
durch Teleskopieren berechnet werden. (Der Fall \( N=1 \) ist aus der Vorlesung bekannt.) Bringen Sie dazu die Differenzen
$$ \frac{(k-1) !}{(k-1+N) !}-\frac{k !}{(k+N) !} $$
auf einen gemeinsamen Nenner.
Berechnen Sie in ähnlicher Weise für \( N \geq 0 \) die Reihen \( \sigma_{N}:=\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k, N}, \) wobei
$$ a_{k, N}:=\frac{1}{2 k-1} \cdot \frac{1}{2 k+1} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{2(k+N)+1} $$
Als Ergebnis sollten Sie \( \sigma_{N}=\frac{2^{N-1}}{N+1} \frac{N !}{(2 N+1) !} \) erhalten.
