Reihe Wert bestimmen mit Parameter

Question

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Aufgabe 5 (2 Punkte)
(a) Für welche \( t \in \mathbb{R} \) ist die Reihe \( \sum \limits_{n=5}^{\infty} \frac{(-5)^{n} t^{n}}{\pi^{n-3}} \) konvergent? Für \( t \in \quad\left(-\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{5}\right) \)
(b) Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe: \( \quad \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2 n-1}}{4^{2 n}(2 n) !}=\quad \frac{\sqrt{2}}{2 \pi} \)

Aufgabe:

Hallo, zu der obigen Aufgabe habe ich bereits die Kurzlösung, allerdings verstehe ich nicht ganz, wie man darauf kommt. Könnte mir jemand bitte das Vorgehen erklären?

LG

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier reicht es, den Konvergenzradius \(r\) der Reihe \(\sum\limits_{n=5}^\infty\overbrace{\frac{(-5)^n}{\pi^{n-3}}}^{=a_n}\,t^n\) zu bestimmen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-5)^n}{\pi^{n-3}}}{\frac{(-5)^{n+1}}{\pi^{(n+1)-3}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-5)^n}{\pi^{n-3}}\cdot\frac{\pi^{(n+1)-3}}{(-5)^{n+1}}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-5)^n}{(-5)^{n+1}}\cdot\frac{\pi^{n-2}}{\pi^{n-3}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1}{(-5)}\cdot\pi\right|=\frac\pi5$$Die Reihe konvergiert daher für \(|t|<r\) bzw. für \(t\in\left(-\frac\pi5\,;\;\frac\pi5\right)\)

zu b) Die Summe kann man auf die Potenzreihe der Cosinus-Funktion zurückführen:$$S=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\pi^{2n\pink{-1}}}{4^{2n}(2n)!}=\pink{\frac1\pi}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\left(\frac\pi4\right)^{2n}}{(2n)!}=\frac1\pi\cdot\cos\left(\frac\pi4\right)=\frac1\pi\cdot\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2\pi}$$

Answer 2

Zu a): Schreibe \(\frac{(-5)^{n} t^{n}}{\pi^{n-3}}=\left(\frac{-5t}{\pi}\right)^n \cdot \pi^3\). Das hat dann die Gestalt wie bei der geometrischen Reihe. Sie konvergiert dann, wenn \(|\frac{-5t}{\pi}|<1\).