Question

Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und ϕ:V->V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft ϕ°ϕ=ϕ.

Folgendes soll ich dazu zeigen:

(a) V=Kern(ϕ)⊕Bild(ϕ)

(b) Ist V endlich erzeugt, so gibt es eine Basis B von V mit der Eigenschaft, dass für jeden Vektor b∈B entweder ϕ(b)=b oder ϕ(b)=0 gilt.

Comments

Tipp: c) hier https://www.mathelounge.de/676787/vektorraum-eine-lineare-abbildung-heisst-idempotent-falls

Answer 1

Hallo

a)entweder bildet  φ ganz V auf sich ab ist also die identische Abbildung, oder φ bildet einen UVR auf sich ab, dann ist der Kern der Rest von V also der komplementäre UVR

b)kannst du leicht mit Widerspruch zeigen.

Gruß lul

Answer 2

ad (a): Sei v im Durchschnitt von Kern f und Bild f. Dann ist f(v)=0 und es gibt ein w∈V mit f(w)=v. Es folgt, dass

0 = f(v) = f(f(w)) = f(w) = v,

also v = 0, d.h. Durschnitt Kern f und Bild f = {0}.

Sei v∈V. Dann ist

v = f(v) + (v - f(v)).

Klaro ist f(v)∈Bild f. Und wegen

f(v - f(v)) = f(v) - f(f(v)) = f(v) - f(v) = 0,

ist v-f(v)∈Kern f. Damit haben wir gezeigt:

V = Bild f+Kern f.