a und b so bestimmen , dass f in [0; 3] stetig ist

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( \mathrm{f} \) sei definiert durch

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {1+x^{2}} & {\text { falls } 0 \leq x \leq 1} \\ {a x-x^{3}} & {\text { falls } 1<x \leq 2} \\ {b\left(e^{x}-x^{2}\right)} & {\text { falls } 2<x \leq 3} \end{array}\right. $$
Bestimmen Sie \( a \) und \( b \) so, dass \( f \) in \( [0 ; 3] \) stetig ist.

Problem/Ansatz:

Hätte jemand eine Idee, was hier der beste Ansatz wäre?

Comments

für x=1 setzt man an, dass

$$1+x^2=ax−x^3$$

also

$$1+1^2=a\cdot 1−1^3$$

und löse nach a auf

Answer 1

Aloha :)

An den Übergangsstellen zwischen den Einzeldefinitionen müssen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein:

$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(1+x^2)=2$$$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}(ax-x^3)=a-1$$$$\lim\limits_{x\nearrow2}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}(ax-x^3)=2a-8$$$$\lim\limits_{x\searrow2}f(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\left(b(e^x-x^2)\right)=b(e^2-4)$$

Die Stetigkeit bei \(x=1\) fordert:$$2=a-1\quad\Leftrightarrow\quad a=3$$

Die Stetigkeit bei \(x=2\) fordert:$$2a-8=b(e^2-4)\quad\Leftrightarrow\quad-2=b(e^2-4)\quad\Leftrightarrow\quad b=-\frac{2}{e^2-4}$$

Answer 2

1 + x^2 für x = 1 : 2
( 1 | 2 )

ax - x^3 für x = 1 : a - 1
2 = a - 1
a = 3

ax - x^3 für x = 2 : 2*3 - 8 = -2
( 2 | -2 )

b * ( e^x - x^2 ) für x = 2 : b * ( e^2 - 4 )
b * ( e^2 - 4 ) = -2
b = ?

Answer 3

Für \( x = 1 \) gilt $$ 2 = a - 1  $$ also \( a = 3 \)

Für \( x = 2 \) gilt $$ 6 - 8 = -2 = b ( e^2 - 4 )  $$