(1) ==> (2)
Sei y ∈ f(A ∩ B)
==> Es gibt x ∈ A ∩ B mit f(x)=y
==> Es gibt x ∈ A und x ∈ B und f(x)=y
==> Es gibt (x ∈ A und und f(x)=y ) und (x ∈ B und f(x)=y)
==> y ∈ f(A ) und y ∈ f( B)
==> y ∈ f(A) ∩ f(B) .
Umgekehrt : Sei y ∈ f(A) ∩ f(B) .
==> Es gibt (x1 ∈ A und und f(x1)=y ) und (x2 ∈ B und f(x2)=y)
Wegen der Injektivität gilt x1=x2 , also mit x=x1=x2
==> Es gibt x ∈ A und x ∈ B und f(x)=y
==> Es gibt x ∈ A ∩ B mit f(x)=y
==> y ∈ f(A ∩ B) .
(2) ==> (1) . Seien a,b ∈ M mit f(a) = f(b) = y
Mit A={a} und B = {b} folgt y ∈ f(A) ∩ f(B) .
Wegen (2) also y ∈ f(A ∩ B)
==> a ∈ A ∩ B und b ∈ A ∩ B
Wegen A={a} und B = {b} also a=b
==> f injektiv.
