F:X->X soll nur dann injektiv sein, wenn F surjektiiv ist. X = {1,...,n} mit n ∈ N .

Question

Aufgabe:

Sei X = {1,...,n} mit n ∈ N und f : X → X eine Abbildung

Man soll beweisen: f ist genau dann injektiv wenn f surjektiv ist

Problem/Ansatz:

Wie kann die angegebene Behauptung überhaupt beweisbar sein? Es  lässt sich leicht ein Gegenbeispiel zu finden:

F(x)=x^2

Bsp: 2=x^2

Wurzel 2 liegt aber nicht in X

D,h 2 wird nicht getroffen.

Aber 2 und ähnliche Zahlen sollen innerhalb des Wertebereichs legen. Daher F ist nicht Surj. (auf die formale Schreibweise verzichte ich hier)

Aber für x1 ungleich x2 ist F(x1) ungleich F(x2)

D.h F inj.

Folgt dass die Behauptung da oben, die bewiesen werden muss, ist wohl falsch.

Ist meine Denkweise und mein Vogehen in Ordnung? Oder habe ich mich irgendwo vertan?

Vielen lieben Dank!

Answer 1

Oder habe ich mich irgendwo vertan?

X =  {1,...,n}

enthält nur n Elemente. D.h. n^2 liegt in der Regel nicht im Bildbereich. Schon bei n=2, ist n^2 = 4 nicht erlaubt. Damit ist dein vermeintliches Gegenbeispiel kein f: X -> X.

Comments

Hallo und danke für deine Antwort.

Nun ist n ein Element aus den natürlichen Zahlen.

D,h dass, wir mit den natürlichen zahlen hier handeln.

So sollte ja 4=x^2 gelten, denn 2 Element N ist.

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Richtig. Aber 4 ist nicht Element von X.

X ist eine endliche Menge und enthält genau die in der Klammer aufgeführten n Elemente. Deine Funktion darf den vorgegebenen Bildbereich nicht "überschiessen".

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/384640/endliche-funktion-surjektiv-injektiv-bijektiv-aquivalenz