Mit Differenzialrechnung hat das nichts zu tun. Es geht hier um exponentielles Wachstum bzw. exponentiellen Zerfall.
Alle Aufgaben sind mit der Formel
B ( t ) = B ( 0 ) * e ( k t )
zu lösen, die das exponentielle Wachstum beschreibt. Dabei ist der Wert der Konstante k im Falle des Wachstums positiv (k wird dann auch "Wachstumskonstante" genannt), im Falle des Zerfalls hingegen negativ (dann wird k auch als "Zerfallskonstante" bezeichnet).
B ( t ) ist der "Bestand" zum Zeitpunkt t. "Bestand" ist die zu betrachtende Größe. Sie kann verschiedene Bedeutungen haben, und beispielsweise für den Geldbetrag auf einem Konto, für die Masse der Algen in einem See oder auch für die Stoffmenge beim radioaktiven Zerfall stehen. B ( 0 ) bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt 0, also den zu Beginn der Betrachtung vorhandenen Bestand.
Zu a)
Hier ist die zu betrachtende Größe (also der Bestand) der Wert des Auto.. Ich schreibe daher im Folgenden nicht B ( 0 ) bzw. B ( t ) sondern Wert ( 0 ) bzw. Wert ( t ).
Zunächst muss die Zerfallskonstante k bestimmt werden. Dazu verwendet man die Information, dass das Auto in einem Jahr 12 % seines Wertes verliert und demzufolge also nur noch 88 % seines ursprünglichen Wertes hat. Es gilt dann also:
Wert ( t ) = Wert ( 0 ) * e ( k t )
mit t = 1 und Wert ( 1 ) = 0,88 * Wert ( 0 )
also:
0,88 * Wert ( 0 ) = Wert ( 0 ) * e k
Durch Wert ( 0 ) dividieren:
<=> 0,88 = e k
Auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus ln anwenden:
<=> ln ( 0,88 ) = k = -0,12783 (gerundet)
Die Konstante k ist negativ, also eine Zerfallskonstante. So muss es ja auch sein, denn der Wert des Autos "zerfällt" ja im Laufe der Zeit.
Es soll nun angenommen werden, dass diese Konstante für den gesamten Zerfallsprozess gilt. Beim radioaktiven Zerfall etwa ist das exakt so, beim "Zerfall" des Wertes eines Autos hingegen muss das nicht so sein. Dieser Wert kann, wenn das Auto gut gepflegt und nach einigen Jahren zum "Oldtimer" wird, sogar wieder zunehmen. Das soll hier aber außer Betracht bleiben. statt dessen soll angenommen werden, dass auch beim Zerfall des Wertes eines Autos die Zerfallskonstante für den gesamten Prozess gleich bleibt.
Es ist dann also der Zeitpunkt t zu bestimmen, zu dem der Wert des Autos nur noch ein Viertel des ursprünglichen Wertes beträgt, zu dem also gilt:
Wert ( t ) = 0,25 * Wert ( 0 )
Setzt man dies wieder in die Formel für den exponentiellen Zerfall (mit Zerfallskonstante k = -0,12783) so erhält man:
0,25 * Wert ( 0 ) = Wert ( 0 ) * e ( - 0,12783 * t )
<=> 0,25 = e ( - 0,12783 * t )
Auflösen nach t:
<=> ln ( 0,25 ) = - 0,12783 * t
<=> t = ln ( 0,25 ) / - 0,12783 = 10,8445...
Also: Nach knapp 11 Jahren ist der Wert des Autos auf ein Viertel seines ursprünglichen Wertes gesunken.
zu b)
Hier liegt exponentielles Wachstum vor, die zunächst zu berechnende Konstante k wird also als Wachstumskonstante positiv sein. Die betrachtete Größe ist die Algenmasse, ich schreibe also in der Formel für das exponentielle Wachstum statt B ( 0 ) bzw. B ( t ) im Folgenden Algenmasse ( 0 ) bzw. Algenmasse ( t ), also:
Algenmasse ( t ) = Algenmasse ( 0 ) * e k t
Laut Aufgabenstellung gilt:
t = 15 und Algenmasse ( t ) = 2 * Algenmasse ( 0 )
Eingesetzt in die Formel für den exponentiellen Zerfall ergibt sich:
2 * Algenmasse ( 0 ) = Algenmasse ( 0 ) * e k * 15
<=> 2 = e k * 15
<=> ln ( 2) = k * 15
<=> k = ln ( 2 ) / 15 = 0,0462 (gerundet)
Die Konstante k ist also wie erwartet positiv.
Für das zu bestimmende prozentuale jährliche Wachstum W gilt:
W = ( Algenmasse ( 1 ) - Algenmasse ( 0 ) ) / Algenmasse ( 0 )
denn der Zuwachs nach einem Jahr ist Algenmasse ( 1 ) - Algenmasse ( 0 ) und bezogen auf die ursprüngliche Algenmasse ( 0 ) ergibt dies den prozentualen Zuwachs W pro Jahr.
Mit Algenmasse ( 1 ) = Algenmasse ( 0 ) * e k 1
ergibt sich daraus:
W = ( Algenmasse ( 0 ) * e k 1 - Algenmasse ( 0 ) ) / ( Algenmasse ( 0 )
Division durch Algenmasse ( 0 )
= e k 1 - 1
mit k = 0,0462
<=> W = e 0,0462 - 1 = 0,0473 = 4,73 % (gerundet).
Das jährliche Wachstum beträgt also 4,73 %
zu c)
Die Anfangsmenge ist die Menge, die zum Zeitpunkt x = 0 vorhanden war, also berechnen:
f ( 0 ) = 100 * e k * 0 = 100 * e 0 = 100 * 1 = 100
Die Zerfallskonstante k ergibt sich aus der Angabe, dass die Halbwertszeit der Substanz 8 Stunden beträgt. Nach 8 Stunden ist also nur noch die Hälfte der Substanz vorhanden, also:
f ( 8 ) = 0,5 * f ( 0 ) = 50
Es muss also gelten:
50 = 100 * e k * 8
<=> 0,5 = e k * 8
<=> ln ( 0,5 ) = k * 8
<=> k = ln ( 0,5 ) / 8 = - 0,08664 (gerundet)
Da es sich um einen Zerfall handelt, ist die Zerfallskonstante k erwartungsgemäß negativ.
Nach drei Tagen ( das sind 72 Stunden) ist noch
f ( 72 ) = f ( 0 ) * e - 0,08664 * 72
= 100 * e - 0,08664 * 72
= 0,19536 Milligramm der Substanz vorhanden.
