Integralrechnung: Bitte berechnen Sie folgende Integrale!

Question

Aufgabe: Bitte Lösen Sie die folgenden Integrale:

a) $$\int { \left( at+{ v }_{ 0 } \right) \partial t }$$

b) $$\int { \left( 4{ u }^{ 3 }+3{ u }^{ 2 }+7u \right) du } $$

c) $$ \int { { e }^{ x } } dx$$

d)$$ \int { \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } dx } $$

e)$$\int { \cos { x } \quad dx }$$

f)$$\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ (\sin ^{ 2 }{ g } +\cos ^{ 2 }{ g)dg }  } $$

Die ganzen Lernvideos bringen einfach nichts, ich weiß nicht wie man Integrale löst. Kann mir vielleicht jemand das anhand dieser Rechenbeispiele erklären?

Danke :)

Answer 1

Zuerst einmal: Dir die komplette Integralrechnung zu erklären würde hier den Rahmen sprengen . Habe dir eine Kurzfassung zum bilden einer Stammfunktion gegeben . Ich weiß nicht,was du genau weißt und was du nicht weißt.Vorallem weil du ja Aufgaben hast,die quer durch verschiedene Niveaus in der Integralrechnung gehen. Falls du noch genaue Fragen hast,frag einfach.

Wenn du eine Erklärung möchte ließ dir das hier durch ,wenn du nur eine Lösung möchtest scroll ein wenig runter :Du musst dir überlegen,dass du beim Bilden eines (unbestimmten oder auch bestimmten ) Integrales eine Stammfunktion suchst,welche abgeleitet  = deiner Funktion ist.Du musst also das Ableiten rückgängig.

Wenn du ein ganz normales Polynom in Form: ax^n +x^{n-1} ... hast:
Du gehst so beim finden der Stammfunktion vor :
Wir leiten jeden Summanden einzeln auf. Beim Ableiten geht es ja genau so.

Also schauen wir uns erstmal ax^n an.

Wir betrachten den Exponenten.

Hier steht n im Exponent. Jetzt überlegen wir doch mal , was man ableiten muss, damit wir n im Exponenten stehen haben . Beim Ableiten zieht man 1 im Exponent ab. Also machen wir dies Rückgängig und addieren 1 zum Exponenten hinzu.

Wir müssen also irgendwas ^{n+1} ableiten damit wir etwas erhalten,dass n im Exponenten enthält.

Das bringt uns doch schonmal weiter.

Nehmen wir also für ax^n  an ,dass a*x^{n+1} eine Stammfunktion ist.

Die Stammfunktion abgeleitet müsste wieder ax^n ergeben also schauen wir mal nach :
(ax*(n+1))' = (n+1) * a * x^{n+1-1} = (n+1) *a *x^{n}.

Wir haben jetzt also den Vorfaktor (n+1),der uns noch stört. Also setzen wir doch mal noch 1/(n+1) vor die Stammfunktion, denn (n+1) * 1/(n+1) = 1 . So erhalten wir unsere Stammfunktion .

Also :

a*x^n aufgeleitet ergibt  : a* 1/(n+1) x^{n+1}

Jetzt zu deinen Beispielen :

Integral von (a*t+v0 ) :
v0(v0 *x^0 ) ist eine Konstante und a auch also:
= 1/2 a*t^2+v0*t

b ist das selbe Prinzip wie a.

c)e^x ist abgeleitet gleich e^x . Für die Aufleitung gilt also das selbe .

d) Lösung ist arcsin (x) . Hierfür benutzt man die Formel Ableitung der Umkehrfunktion. Etwas zu lang um das auch noch zu erklären.

e) Ableitung von sin (x) = cos (x)
Also Aufleitung von cos(x) = ???

f) Tipp sin^2(x)+cos^2(x) = 1

Answer 2

Stammfunktion von x^n ist 1/(n+1) * x^{n+1}

∫ (a*t + v) dt = 1/2*a*t^2 + v*t + C

∫ (4*u^3 + 3*u^2 + 7*u) du = 4/4*u^4 + 3/3*u^3 + 7/2*u^2 + C (Hier solltest du noch kürzen)

∫ e^x dx = e^x + C

∫ 1/√(1 - x^2) dx = ARCSIN(x) + C

∫ COS(x) dx = SIN(x) + C

∫ (SIN^2(g) + COS^2(g)) dg = ∫ 1 dg = g + C (Das bestimmte Integral jetzt selber berechnen)