Aloha :)$$F(\omega)=\int\limits_{-2}^2e^{it}(2t+1)e^{-i\omega t}dt=\int\limits_{-2}^2(2t+1)e^{-i(\omega-1)t}dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\int\limits_{-2}^2\underbrace{(2t+1)\cos[(\omega-1)t]}_{=:f_1(t)}dt-i\int\limits_{-2}^2\underbrace{(2t+1)\sin[(\omega-1)t]}_{=:f_2(t)}dt$$
Für Integrale mit "symmetrischen" Grenzen gilt: \(\int_{-a}^af(x)\,dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]\,dx\). Dies wenden wir auf die Funktionen \(f_1(t)\) und \(f_2(t)\) an:
$$f_1(t)+f_1(-t)=(2t+1)\cos[(\omega-1)t]+(2(-t)+1)\cos[(\omega-1)(-t)]$$$$\phantom{f_1(t)+f_1(-t)}=(2t+1)\cos[(\omega-1)t]+(-2t+1)\cos[(\omega-1)t]$$$$\phantom{f_1(t)+f_1(-t)}=2\cos[(\omega-1)t]$$$$f_2(t)+f_2(-t)=(2t+1)\sin[(\omega-1)t]+(2(-t)+1)\sin[(\omega-1)(-t)]$$$$\phantom{f_1(t)+f_1(-t)}=(2t+1)\sin[(\omega-1)t]-(-2t+1)\sin[(\omega-1)t]$$$$\phantom{f_1(t)+f_1(-t)}=4t\sin[(\omega-1)t]$$Das erste Integral können wir sofort hinschreiben, beim zweiten hilft partielle Integration:$$F(\omega)=\int\limits_{0}^2 2\cos[(\omega-1)t]dt-i\int\limits_{0}^2 4t\sin[(\omega-1)t]dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{2}{\omega-1}\left[\sin[(\omega-1)t]\right]_0^2-4i\left[t\cdot\frac{-\cos[(\omega-1)t]}{\omega-1}\right]_0^2$$$$\phantom{F(\omega)}+4i\int\limits_0^2\frac{-\cos[(\omega-1)t]}{\omega-1}dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{2}{\omega-1}\sin(2\omega-2)+\frac{8i}{\omega-1}\cos(2\omega-2)-4i\left[\frac{\sin[(\omega-1)t]}{(\omega-1)^2}\right]_0^2$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{2\sin(2\omega-2)}{\omega-1}+\frac{8i\cos(2\omega-2)}{\omega-1}-\frac{4i\sin(2\omega-2)}{(\omega-1)^2}$$
