Differenzierbarkeit von Funktionen; Hilfe

Question

Untersuchen Sie zunächst anhand des Graphen und dann anhand
der Definition, ob die Funktion f : R −→ R mit f (x) = |x²− x − 12|

a) . . . bei 4 differenzierbar ist.
b) . . . bei 5 differenzierbar ist.

Kommt bei a) als Antwort:

f‘(4) = 8 (für x≥ 4)

f‘(4) = 0 (für x < 4)

und bei b)

f‘(5) = 12 ( für x≥5)

f‘(5) = 0 (für x < 5 ) raus?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

a) in x = 4 nicht diffbar, da lim x → 4^- f'(x) = -7 und  lim x → 4⁺ f'(x) = 7 ist.

b) in x = 5 diffbar, da lim x → 5 f'(x) = 9.

Comments

Offenbar versuchst du, von der stetigen Fortsetzbarkeit der Ableitung auf die Differenzierbarkeit zu schließen. Wodurch ist das gerechtfertigt? Außerdem soll laut Aufgabenstellung mit der Definition, die der Frager alledings unterschlagen hat, gearbeitet werden.

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Hey kannst du mir sagen wie du bei lim x → 5- f'(x) = 9 raus bekommen hast? Bei mir kommt als Ergebnis immer -9 raus. Ich rechne wie folgt:

lim x → 5-    -x^2 + x + 12 + 8 / x - 5

= -x^2 + x + 20 / x - 5

= -((x-5)(x+4)) / x - 5

= - x - 4

= - 5 - 4

= - 9 

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Vmtl. den Betrag vergessen?

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Den Betrag habe ich am Anfang abgelöst in dem ich die Vorzeichen der Zahlen im Betrag geändert habe, war das falsch ?

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d/dx [x^2-x-12] = 2x-1 Mit x = 5 ergibt sich 10 -1 = 9.

Answer 2

Guck dir mal den Graphen an. Bei x=4 ist eine "Spitze", bei x=5 nicht.

https://www.desmos.com/calculator/ynkjjpet7c

Answer 3

Hier die Skizze
f (x) = |x^2− x − 12|

x^2− x − 12 ≥ 0

x ≥ -3
x < 4
Für die Betragsfunktion gilt dann
f (x) = x^2− x − 12

Für x < -3  und x > 4 gilt
f (x) = -1 * ( x^2− x − 12 )

In x = -3 und x = 4 ist die Funktion nicht diffbar.

Comments

Aber man soll überprüfen ob die Funktion bei x=4 und x=5 diffbar ist?

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Oben war ein Fehler
Wann ist x^2− x − 12  >= 0
x^2 - x + (1/2)^2 >= 12 + 1/4
( x - 1/2 )^2 >= 49/4
x - 1/2 >= 7/2
x >= 4
x - 1/2 <= - 7/2
x <= -3

Es gilt ( x <= -3 ) oder ( x >= 4 )
f ( x ) = x^2− x − 12

Es gilt bei ( -3 > x < 4 )
f ( x ) = (-1) * ( x^2− x − 12 )
f ( x ) = -x^2 + x + 12

linksseitig
Für x < 4 ist die Funktion
f (x) = -x^2 + x + 12
f ´ ( x ) = -2x + 1
lim x -> 4(-) [ -2x + 1 ] = -7 ( fallend )

rechtsseitig
Für x > 4 ist die Funktion
f (x) = x^2− x − 12 )
f ´ ( x ) = 2x - 1
lim x -> 4(+) [ 2x - 1 ] = 7 ( steigend )

in x = 4 ist der links- und rechtsseitige
Grenzwert der Steigung unterschiedlich.
Die Funktion ist bei x = 4 nicht diffbar.