Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen

Question

Aufgabe:

Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen bestimmen

Problem/Ansattz:

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen und weiß einfach nicht wie ich vorgehen soll:

Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen differenzierbar sind und bestimmen sie für diese die Ableitung.
a) f(x)= xcos(x²) / 1+e^sin(x)

b) f(x)= ln(wurzel:1+cosh(x))

c) f(x)=sin(sin(sin(x)))

d)f(x)=arccos(x)

Hinweis zu d): Die Funktion arccos(x) ist die Umkehrfunktion der bijektiven Einschränkung der
Kosinusfunktion cos : (0, π) → (−1, 1).

Bin dankbar für jegliche Art von Hilfe und Antworten :)

Comments

https://studyflix.de/mathematik/differenzierbarkeit-4183

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Welche Ableitungsregeln kennst du denn? Hast du denn überhaupt mal angefangen und etwas ausprobiert? Das ist immer der erste Schritt, nicht gleich aufgeben.

Zu d): ist \( y=f(x) \), so ist die Ableitung der Umkehrfunktion \( (f^{-1}(y))'= \frac{1}{f'(x)} \).

Comments

Bekannt unter:

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Answer 2

Die sind ja schon recht knifflig. Ich versuche mal den ersten:

Bei a) ist der Funktionsterm \(  \frac{x \cdot \cos(x^2) }{1+e^{\sin(x)}}   \)gegeben durch einen Quotienten, also in

der Form \(  f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \). Dann gibt die Quotientenregel

\(  f ' (x)=\frac{v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \)    #

In deinem Fall ist \(  u(x)=x \cdot \cos(x^2)  \)

Also brauchst du für u'(x) die Produktregel (h*g)'=h'*g +h*g') und bekommst

\(  u'(x)=1 \cdot \cos(x^2) + x \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = \cos(x^2) - 2x^2 \cdot \sin(x^2) \)

und \(  v(x)=1+ e^{sin(x)}  \)

gibt \(  v'(x)=0 + \cos(x)  \cdot e^{sin(x)} =\cos(x)  \cdot e^{sin(x)}   \)

Alles bei # einsetzen gibt

\(  f ' (x)=\frac{(1+ e^{sin(x)} )(\cos(x^2) - 2x^2 \cdot \sin(x^2))-(x \cdot \cos(x^2) ) \cdot (\cos(x)  \cdot e^{sin(x)} )}{(1+ e^{sin(x)})^2} \)

\( =\frac{\cos(x^2) - 2x^2 \cdot \sin(x^2)+ e^{sin(x)}\cos(x^2) - 2x^2 \cdot \sin(x^2)e^{sin(x)}-x \cdot \cos(x^2) \cdot \cos(x)  \cdot e^{sin(x)} }{(1+ e^{sin(x)} )^2} \)

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn es dir gelingt, eine Funktion mit den bekannten Methoden der Differentialrechnung zu differenzieren, ist die Funktion auch differenzierbar (du hast es ja dann gemacht). Beim Bilden der Ableitungen musst du sorgfältig arbeiten, damit du mit den Regeln nicht durcheinander kommst.

$$\text{zu a)}\quad f(x)=\frac{x\cos(x^2)}{1+e^{\sin x}}=\frac{\overbrace{\overbrace{x}^{g}\overbrace{\cos(\red{x^2})}^{h}}^{=u}}{\underbrace{1+e^{\green{\sin x}}}_{=v}}$$$$\small f'(x)=\frac{\overbrace{(\,\overbrace{1}^{g'}\cdot\overbrace{\cos(\red{x^2})}^{h}+\overbrace{x}^{g}\cdot\overbrace{(-\sin(\red{x^2}))\cdot\red{2x}}^{h'}\,)}^{u'}\cdot\overbrace{\left(1+e^{\green{\sin x}}\right)}^{v}-\overbrace{x\cos(\red{x^2})}^{=u}\cdot\overbrace{e^{\green{\sin x}}\cdot\green{\cos x}}^{v'} }{\underbrace{\left(1+e^{\sin x}\right)^2}_{=v^2}}$$$$f'(x)=\frac{\cos(x^2)-2x^2\sin(x^2)}{1+e^{\sin x}}-\frac{x\cos(x)\cos(x^2)\cdot e^{\sin x}}{\left(1+e^{\sin x}\right)^2}$$

$$\text{zu b)}\quad f(x)=\ln\left(\red{\sqrt{\green{1+\cosh(x)}}}\right)$$$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+\cosh(x)}}\cdot\red{\frac{1}{2\sqrt{\green{1+\cosh(x)}}}}\cdot\green{\sinh(x)}=\frac{\sinh(x)}{2+2\cosh(x)}$$

$$\text{zu c)}\quad f(x)=\sin(\red{\sin(\green{\sin x})})$$$$f'(x)=\cos(\red{\sin(\green{\sin x})})\cdot\red{\cos(\green{\sin x}})\cdot\green{\cos x}$$

$$\text{zu d)}\quad f(x)=\arccos(x)\quad;\quad x\in[-1;1]$$

Wir schreiben \(y=\arccos(x)\), dann ist \(x=\cos(y)\) und es gilt:$$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\cos y}=\frac{1}{-\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}}=-\frac{1}{1-x^2}$$Hier musst du aufpassen. Die \(\arccos(x)\)-Funktion ist auch für \(x=\pm1\) definiert. Die Ableitung ist jedoch nur für \((-1<x<1)\) definiert. Das heißt, die \(\arccos(x)\)-Funktion ist an ihren Rändern nicht differenzierbar.