Wie gehe ich vor bei einer vollständigen Induktion?

Question

Aufgabe:

Zu dieser gegebenen Gleichung sollen wir dir vollständige Induktion durchführen. Ist der Ansatz bzw. meine Vorgehensweise richtig und wenn ja, wo habe ich einen Fehler gemacht, dass am Ende nicht der Term wie bei der Behauptung rauskommt 

Comments

Du sollst doch nur n ersetzen und nicht k. Dein erster Schritt bei "Induktionsschritt" ist also bis auf die Ersetzung von  k gar nicht schlecht.

Schreibe die Summe, die Du dann erhältst aus: Einmal die Summe die wir kennen und extra als Summand das "n+1". Dann solltest Du schnell zum Ziel kommen :).

Answer 1

Der Induktionsschritt sollte so aussehen: Setze auf der rechten Seite der Behauptung n+1 für n und addiere auf der linken Seite der Behauptung den nächsten Summanden. Dann sieht das so aus:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(k+1)}} \) +\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \) =\( \frac{n+1}{n+2} \)

Setze jetzt für die Summe das, was sie nach Behauptung sein soll. Bestätige die Gleichung.

Comments

So ganz hab ich den Schritt nach aufstellen der Behauptung nicht verstanden. Bzw. weiß ich jetzt nicht genau wie ich da was weiter umformen soll.

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\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(k+1)}} \) +\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \) =\( \frac{n+1}{n+2} \)

Setze jetzt für die Summe das, was sie nach Behauptung sein soll. Bestätige die Gleichung. Also:

\( \frac{n}{n+1} \)  +\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \) =\( \frac{n+1}{n+2} \) muss noch bestätigt werden uns zwar so:

\( \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} \) +\( \frac{1}{(n+1)(n+2} \) =\( \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} \) =\( \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} \) =\( \frac{n+1}{n+2} \)

Answer 2

Beim zweit letzen Schritt hast du 1/(n+1)(n+2) addiert. Diesen Term musst du aber auf beiden Seiten subtrahieren. Probiers mal so dann sollte es passen. :)