DGL, Fundamentalsystem bestimmen

Question

Aufgabe:

Für \( x \in] 0, \infty[ \) sei $$ A(x)=\left(\begin{array}{cc} {2} & {\frac{1}{x^{2}}} \\ {0} & {\frac{3}{x}} \end{array}\right) $$

(a) (BP) Bestimmen Sie ein Fundamentallystem für das lineare Differentialgleichungssystem \( y^{\prime}=A(x) y \) Hinueis: Man muss die spezielle Struktur des Differentialg]leichungsstems ausnutzen.

(b) \( (2 P) \) Bestimmen Sie ferner eine Lösung für die Anfangsbedingung \( y(1)= \left(\frac{o}{c_{1}}\right) \)

Für  x ∈ ]0, ∞[ sei 

\( y^{\prime}=A(x) y \)

\( A(x)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {\frac{1}{x^{2}}} \\ {0} & {\frac{3}{x}}\end{array}\right) \)

a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem fur das lineare Differentialgleichungssystem \( y' = A(x)y \)

Hinweis: Man muss die spezielle Struktur des Differentialgleichungssystems ausnutzen

b)  Bestimmen Sie ferner eine Lösung fur die Anfangsbedingung y(1)= (0 (darunter -1))

Answer 1

Hallo

 die spezielle Struktur ist doch, dass du y2 bestimmen kannst. da ja y2' unabhängig von y1. Dann in y1' einsetzen, d. h. du kannst  die zwei Komponenten von y einzeln lösen,

was daran kannst du dann nicht?

Gruß lul

Answer 2

Hier findest du die Lösung: https://www.wolframalpha.com/input/?i=differential+equation+y%27%3D%7B%7B2%2C1%2Fx%5E2%7D%2C%7B0%2C3%2Fx%7D%7Dy.

Text erkannt:

\( \vec{y}^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{cc}{2} & {\frac{1}{x^{2}}} \\ {0} & {\frac{3}{x}}\end{array}\right) \cdot \vec{y}(x) \)
ODE classification:
First-order system of linear differential equations
Differential equation solution:
\( \vec{y}(x)=\left(\begin{array}{c}{c_{1}\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)+c_{2} e^{2 x}} \\ {c_{1} x^{3}}\end{array}\right) \)