a) Zu jedem \(\sigma\in S_5\) definieren wir einen Gruppenhomomorphismus
\(\phi_{\sigma}:\; \mathbb{Z} \rightarrow S_5\) durch \(\phi_{\sigma}(z)=\sigma^z\).
b) Angenommen, es gäbe einen Homomorphismus \(\phi\neq 0\) in
\(Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z})\). Dann wäre \(\phi(\mathbb{Q})\neq \{0\}\) eine Untergruppe
von \(\mathbb{Z}\). Sei nun \(a=\min(\mathbb{N}^*\cap \phi(\mathbb{Q}))\).
Dann gibt es ein \(\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}\) mit \(\phi(\frac{m}{n})=a\). Hieraus folgt:
\(a=\phi(\frac{m}{2n}+\frac{m}{2n})=\phi(\frac{m}{2n})+\phi(\frac{m}{2n})=2\cdot \phi(\frac{m}{2n})\), also
\(\phi(\frac{m}{2n})=\frac{a}{2}\) im Widerspruch zur Minimalität von \(a\).
Damit ist \(Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=\{0\}\).
