Polarkoordinaten, komplexe Zahlen. Begründe, dass jede komplexe Zahl ≠ 0 genau 2 Wurzeln hat.

Question

Begründe mit Polarkoordinaten, dass jede komplexe Zahl (z ungleich 0c) genau 2 Quadratwurzeln hat und dass 0c genau eine hat.

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In Polarkoordinaten schreibt man normalerweise

z = r * e^{iφ} oder r* (cos φ + i sin φ)

Ich nehme mal an, dass c in 0c das  e^{iφ} ist. Oder?

Answer 1

Ist z = r * e^{iφ} in C 

so ist z² = r²  * e^{i2φ} 

Der Betrag wird quadriert, der zugehörige Winkel verdoppelt. Bei der Winkelverdopplung wird modulo 2Pi oder 360° gerechnet. Beim Quadrieren von Zahlen im ganzen Bereich von 0 bis 360° resp 2Pi, durchlaufen die Quadratzahlen diesen Winkelbereich doppelt.

Sei nun a =  R * e^{iγ}) in C \ {0c}

So ist √a₁ = √(R) *e^ (iγ/2)   und  √a₂ = √(R) *e^ (i(γ/2  + Pi)) 

Denn ( √a₁)² = (√(R) *e^ (iγ/2))² = R *e^ (iγ)   und

 (√a₂)² = (√(R) *e^ (i(γ/2  + Pi)))² = R* e^ (i(γ  + 2 Pi)) =R* e^ (iγ)

Somit sind beide Zahlen Wurzeln von a.

Weitere Winkel zwischen 0 und 2Pi die verdoppelt wieder γ geben, gibt es nicht. Deshalb keine weiteren Wurzeln von a.

√(0c) ist 0.      Anders kommt man mit Quadrieren des Radius nie auf 0.

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Zur Polardarstellung in der vielleicht üblicheren Form:

https://www.mathelounge.de/693/wurzel-aus-komplexer-zahl-taschenrechner