Es ist \(\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{(1+z)^n}=\frac{1}{1+z}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{z}{1+z})^n\).
Die Summe ist eine geometrische Reihe mit \(q=\frac{z}{1+z}\).
Diese konvergiert für \(|q|=|\frac{z}{1+z}|<1\), also für alle \(z\) mit
\(|z-0|\lt |z-(-1)|\), also für alle \(z\), deren Abstand zu 0 kleiner ist als der
Abstand zu -1, d.h. für alle \(z\) mit \(Re(z)>-\frac{1}{2}\).
Für solche \(z\) ergibr sich für die Reihe
\(\frac{1}{z+1}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{z+1}}=1\).
Die Reihe stellt also in der Halbebene \(Re(z)>-\frac{1}{2}\) die Konstante 1 dar.
