Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe Summe von (x+4)^n /((-2)^n *(2n-2))

Question

Zur Vorbereitung auf eine baldige Klausur rechne ich gerade verschiedene Aufgabentypen. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( x + 4 ) ^ { n } } { ( - 2 ) ^ { n } \cdot ( 2 n - 2 ) } $$

Hierzu versuche ich das Quotientenkriterium anzuwenden.

$$ \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } $$

Jedoch habe ich schon am Anfang Probleme mit \( a _ { n + 1 } \).

Bei mir sieht \( \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } \) so aus:

$$ \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } = \frac { 4 \cdot ( - 2 ) ^ { n + 1 } \cdot 2 n } { 4 \cdot ( - 2 ) ^ { n } \cdot ( 2 n - 2 ) } $$

und nach dem Kürzen so:

$$ \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } = \frac { ( - 2 ) \cdot 2 n } { 2 n - 2 } $$

Hier komme ich allerdings nicht weiter. Kann mir jemand die restlichen Schritte zum Ergebnis aufzeigen? Das Ergebnis sollte -6 und -2 lauten.

Answer 1

$$ \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } = \frac { ( - 2 ) \cdot 2 n } { 2 n - 2 } $$

| oben und unten durch 2n

$$ = \frac{-2}{1 -\frac{1}{2n}} $$

n → unendlich

Limes ist (-2)/(1-0) = -2.

Irgendwo hast du vielleicht eine Angabe, die besagt, dass du den Betrag dieses Grenzwert nehmen sollst. Ist dem so:

Fortsetzung wie folgt:

Beachte nun wegen (x+4)^n ist das Zentrum des Konvergenzbereichs bei x = -4

Seine Grenzen sind:

-4 -2 = -6

-4+2 = -2

Nachtrag:

Woher kommt bei dir überhaupt die 4 vor Zähler und Nenner?

$$ \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } = \frac { 4 \cdot ( - 2 ) ^ { n + 1 } \cdot 2 n } { 4 \cdot ( - 2 ) ^ { n } \cdot ( 2 n - 2 ) } $$

Die 4 gehört weder zu an noch zu an+1, kürzt sich aber automatisch auch wieder weg.

Comments

So habe ich es Verstanden.

Die 4 vor Zähler und Nenner kommen bei mir daher das ich für an

$$ \frac { 4 } { ( - 2 ) ^ { n } \cdot ( 2 n - 2 ) } $$

verwende. Der Teil mit dem X fällt ja weg. Und wie du schon angemerkt hast, kann ich die 4 ja später wieder kürzen. Oder war das falsch?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

4 ist nur das xo.

an = 1/((-2)^n*(2n-2))

an+1 = 1/((-2)^{n+1}*(2(n+1)-2)) = 1/((-2)^{n+1}*(2n))

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habe die Aufgabe gerade nochmal nachgerechnet, und bemerkt, das ich das Quotientenkriterium eigentlich falsch angewandt habe. Es müsste doch a_n+1 / a_n  sein, und nicht a_n / a_n+1. Dadurch komme ich natürlich auch nicht auf (-2)*2n/2n-2 sondern auf 2n-2/(-2)*2n. Und damit wäre der Grenzwert ja -1/2, was ja laut Lösung falsch ist.

Habe ich es beim ersten mal ausversehen "richtig" gemacht, indem ich a_n / a_n+1 genommen habe?

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Deine ursprüngliche Formel stimmt mit der von Wikipedia überein. Sollte eigentlich stimmen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

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Stimmt, ist alles Korrekt. Ich sollte eine Pause machen...