Die Iterationsformel von Heron zur Bestimmung der Quadratwurzel von lautet

Question

Die Iterationsformel von Heron zur Bestimmung der Quadratwurzel lautet

 \(\color{blue}{x_{n+1} = \frac{1}{2} ·( x_n + \frac{a}{x_n} )}\)    [editiert]

a) Warum liefert das Heronverfahren den Wert von √a  für n → ∞?

b) Berechnen Sie die ersten drei Iterationen des Verfahrens für \(x_0 = 100\) und \(a= 2\) per Hand.

c) Implementieren Sie das Heronverfahren in einem Tabellenkalkulationsverfahren Ihrer Wahl.

.Setzen Sie (1)  x₀ = 1 sowie (2) x₀ = 100 für a = 2. Drucken Sie die Tabelle aus.

d) Nach wie vielen Iterationsschritten ist die Abweichung zwischen der approximativen und der exakten Lösung kleiner als 10⁻⁸?

Comments

Habe u.A. mal 

Setzen Sie (1) ₀ = 1 sowie (2) ₀ = 100 für = 2

durch

Setzen Sie (1)  x₀ = 1 sowie (2) x₀ = 100  für a = 2.

ersetzt.

Answer 1

Aloha :)

Die Quadratwurzel \(x\) einer Zahl \(a\) bekommen wir durch Lösen der Gleichung \(x^2=a\). Division beider Seiten dieser Gleichung durch \(x\) liefert \(x=\frac{a}{x}\). Das Heron-Verfahren basiert darauf, dass \(x\) und \(\frac{a}{x}\) gleich sein müssen. Man startet mit einem Schätzwert \(x_0\), berechnet \(\frac{a}{x_0}\) und wählt als Verbesserung des Schätzwertes die Mitte von \(x_0\) und \(\frac{a}{x_0}\). Der nächste Schätzwert wäre also \(x_1=\frac{1}{2}\left(x_0+\frac{a}{x_0}\right)\). Mit dem neuen Schätzwert hat sich dann der Abstand zwischen \(x_0\) und \(\frac{a}{x_0}\) halbiert. Wiederholt man diese Iteration \(n\)-mal, nähern sich \(x_n\) und \(\frac{a}{x_n}\) immer weiter an, bis die geforderte Genauigkeit erreicht ist.

Nach 10 Iterationen ist die geforderte Genauigkeit übertroffen.

Comments

was muss ich bei b) einsetzen?

sieht die Gleichung dann so aus wenn ich die werte einsetze?

100 = \( \frac{1}{2} \)  (100 + \( \frac{2}{200} \) )

xn+1=12⋅(xn+axn)

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Ich schreibe mal die ersten Zeilen der Excel-Tabelle auf:

A1: x	B1: a/x	C1: Abweichung
A2: 100	B2: =2/A2	C2: =A2-Wurzel(2)
A3: =(A2+B2)/2	B3: =2/A3	C3: =A3-Wurzel(2)
A4: =(A3+B3)/2	B4: =2/A4	C4: =A4-Wurzel(2)

Answer 2

b) Berechnen Sie die ersten drei Iterationen des Verfahrens für 0 = 100 und = 2 per Hand.

Tu es doch einfach. Das öffnet dir auch die Tür für die anderen Teilaufgaben.

Comments

Ich brauch nur bei der a und d hilfe

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zu a) Was fällt dir denn auf, wenn du die Folge der Werte aus b) bzw. c) betrachtest?

zu d) Du hast Aufgabe c gelöst! Berechne doch einfach die Differenz deiner Folgenglieder zu √2 und schau nach, wann diese Differenz so klein wird wie gefordert.

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Wenn du das Newtonverfahren zur näherungsweisen Berechnung der Nullstellen von Funktionen kennst, findest du  HIER  eine exakte Begründung.

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Ich glaube, du sorgst gerade für Verwirrung. Ich sehe bei keiner Teilaufgabe die Notwendigkeit für den Einsatz des Newton-Verfahrens. Um welche Teilaufgabe geht es dir konkret?

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Um welche Teilaufgabe geht es dir konkret?                 --------------                    
eine exakte Begründung.

Da kann es sich wohl nur um die Aufgabe a) handeln, bei der eine Begründung gefordert ist.

Ich glaube, du sorgst gerade für Verwirrung                 ---------------
Wenn du das Newtonverfahren zur näherungsweisen Berechnung der Nullstellen ... kennst 

Wenn der Fragesteller diese Bedingung - für sich selbst - bejaht, wird er durch den Link nicht verwirrt. Wenn er sie verneint, wird er den Link wohl nicht einmal öffnen.

Ich sehe bei keiner Teilaufgabe die Notwendigkeit für den Einsatz des Newton-Verfahrens. 

Wo habe ich das behauptet?

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Nirgendwo. Trotzdem finde ich die Platzierung des Kommentars seltsam.

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Da kann es sich wohl nur um die Aufgabe a) handeln, bei der eine Begründung gefordert ist.

Da würde ich dann doch eher an ein Sandwich denken als an Newton.

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Das klingt schon besser als dein - nach meiner SPAM-Markierung inzwischen von dir geändertes - "Vielleicht willst du ja den Fragesteller einfach nur verwirren" !

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Ich stelle mich halt darauf ein, dass du etwas sensibel bist...

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Ich stelle mich halt darauf ein, dass du etwas sensibel bist...

Das ist schon wieder eine deiner geliebten Unterstellungen.

Das wäre allerdings "very sensible" :-)

Aber: Die Rede hör ich wohl, allein mir fehlt der Glaube!

Answer 3

a) Sei a_n irgend ein zu kleiner Näherungswert für √a. Dann ist a/a_n ein zu großer Näherungswert und das arithmetische Mittel \( \frac{a_n+\frac{a}{a_n}}{2} \) liegt noch näher an √a, als a_n.     

Comments

Das erklärt aber wohl noch nicht, warum man damit beliebig nahe an √a herankommt.

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Wie recht du hast. Dann erkläre du doch dem FS, warum "beliebig nahe".