Inneres einer Menge verstehen

Question

Es geht um die Schreibweise zum Inneren einer Menge, die ich überhaupt gar nicht verstehe.

Man hat zunächst einen metrischen Raum (X,d) und eine Teilmenge T⊆X. Dann heißt

$T^°:=\bigcup \ \{U\subseteq X: U\subseteq T$ ist offen $\}$ das Innere von T. (*)

Angeblich soll nun folgendes gelten:

T sei nun eines der Intervalle ]0,1[, ]0,1], [0,1[ oder [0,1]. Dann ist $T^°=]0,1[$ Inneres von T.

Frage:

Wie kommt man überhaupt darauf? Mich verwirrt schon diese Schreibweise, dass nun hier Mengen von Mengen vereinigt werden. Die Schreibweise (beispielsweise) $\bigcup\limits_{k=1}^n \ A_k$ ist mir verständlich, da hier einfach Mengen vereinigt werden und man hat damit eine neue Menge erhalten: Die Vereinigung aller Mengen A_k .

Nun verwirrt mich aber wiegesagt die obige Schreibweise von (*).

$\{U\subseteq X: U\subseteq T$ ist offen $\}$ ist mir wiederum verständlich, denn hier betrachte ich einfach die Mengen aller U von X mit U ist Teilmenge von T offen. Aber was passiert nun, wenn ich noch das Vereinigungssymbol davor setze?

Answer 1

U ist Teilmenge von T offen  soll wohl bedeuten

U ist offene Teilmenge von T.   Dann bedeutet also

$\{U\subseteq X: U\subseteq T$ ist offen $\}$

die Menge aller offenen Teilemengen von X, die innerhalb

von T liegen. Das ist also eine Menge von (offenen) Mengen.

Und das Vereinigungszeichen davor heißt:

Die Vereinigung aller dieser offenen Mengen .

Und das Beispiel darunter sagt: Alle diese 4 Mengen haben

das gleiche "Innere". Denn wenn du irgendeine offene Menge von

einem dieser T's hast, dann ist diese eine Teilmenge des Intervalls ]0;1[

und dieses Intervall selbst ist auch eine offene Teilmenge von T,

also ist die Vereinigung aller dieser offenen Mengen wieder

das Intervall ]0;1[ .