Funktion mit zweiter Variable ableiten (Kettenregel)

Question

Aufgabe:

Es sei g eine beliebige zwei mal differenzierbare reelle Funktion und f die durch f(x) = g(−3x³+3x−5) gegebenen reellen Funktion f. Die zweite Ableitung f′′  hat die Gestalt

f′′(x) = P₁(x)*g′*(P₂(x)) + P₃(x)*g′′*(P₄(x))

mit Polynomfunktionen Pj(x), j=1,2,3,4.

Bestimmen Sie P_j(x), j=1,2,3,4.

Problem/Ansatz:

diese Aufgabe bereitet mir große Schwierigkeiten, da ich nicht weiß wie ich auf die gewünschte Form kommen soll, um alle Pj(x) bestimmen zu können. Ich habe die erste Ableitung mit der Kettenregel bestimmt, aber wie es dann weiter geht weiß nicht.

f'(x) = g'(-2x³+6x-6) + g(-6x²+6)

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Comments

Die Kettenregel lautet, vereinfacht gesagt:

innere Ableitung MAL äußere Ableitung

Dein f' ist falsch.

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Noch eine Frage: Stehen die von mir markierten Sternchen in der Angabe?

f′′(x) = P_{1}(x)*g′*(P_{2}(x)) + P_{3}(x)*g′′*(P_{4}(x))

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Dann hab ich wohl die Kettenregel falsch verstanden. Danke für den Hinweis.

Die Sternchen stehen für Mal-Zeichen.

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Die Kettenregel lautet: Äußere mal innere Ableitung. Du solltest diese Reihenfolge einhalten.

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Die Sternchen stehen für Mal-Zeichen.

Das ist keine Antwort auf meine Frage.

Die Kettenregel lautet: Äußere mal innere Ableitung. Du hast die Reihenfolge zu berücksichtigen, v.a. wenn mehrfach verschachtelt ist.

Meine Aussage muss ich deswegen aber nicht revidieren, also bleibt sie bestehen.

Answer 1

Aloha :)

Wir bilden zunächst die zweite Ableitung von \(f(x) = g(−3x^3+3x−5)\)

$$f'(x)=\overbrace{\underbrace{g'(-3x^3+3x-5)}_{=\text{äußere}}}^{=:u}\cdot\overbrace{\underbrace{(-9x^2+3)}_{=\text{innere}}}^{=:v}$$$$f''(x)=\overbrace{\underbrace{g''(-3x^3+3x-5)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-9x^2+3)}_{=\text{innere}}}^{=u'}\cdot\overbrace{(-9x^2+3)}^{=v}$$$$\phantom{f''(x)}+\overbrace{g'(-3x^3+3x-5)}^{=u}\cdot\overbrace{(-18x)}^{=v'}$$$$\phantom{f''(x)}=\underbrace{(-18x)}_{=P_1(x)}\cdot g'(\underbrace{-3x^3+3x-5}_{=P_2(x)})+\underbrace{(-9x^2+3)^2}_{=P_3(x)}\cdot g''(\underbrace{-3x^3+3x-5}_{=P_4(x)})$$

Comments

Na, P_3 hat keine Polynomform und "innere mal äußere" wäre hier einfacher gewesen.

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Ehrlich gesagt ist mir in der Aufgabenstellung gar nicht ganz klar, was eigentlich die Polynome \(P_i\) genau sein sollen. Deswegen habe ich das erstmal so vorgeschlagen. Der Fragensteller kann dann selbst entscheiden, wie er die Polynome zuordnet, vermutlich wurde das ja im Unterricht irgendwie besprochen. Dabei kann dann auch \(P_3\) noch ausgerechnet werden, also:$$P_3(x)=81x^4-54x^2+9$$

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Ich verstehe die Aufgabe so, wie du sie gerechnet hast. Daher fand ich auch zwei der vier Multiplikationssternchen deplaziert.