für jede stetige Funktion f : S^1 → R ein z ∈ S^1 mit f (z) = f (−z) existiert

Question

Wir bezeichnen mit S^1 den Einheitskreis in C, d.h.

S^1:= {z ∈ C : |z| = 1} .

Zeigen Sie, dass für jede stetige Funktion f : S^1 → R ein z ∈ S^1 mit f (z) =f (−z) existiert.
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion g : [0, 2π] → R, g(x) := f(e^{ix})-f(-e^{ix}) und verwenden Sie den Zwischenwertsatz, um eine Nullstelle für g zu finden.

Vielen Dank vorab!!!

Comments

g(x) hängt gar nicht von x ab, das kommt mir seltsam vor.

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Ja genau stimmt nur da ohne pi. Sorry

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kann jemand mir helfen bitte ?

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Wie kann ich es machen ?

Answer 1

Hallo,

es ist g(0)=-g(π)

Also gibt es dazwischen eine Nullstelle, da die Funktion g eine Verkettung stetiger Funktionen ist.

Daher

0=f(z)-f(-z)

mit z=e^{ix_0}