Welche der angegebenen Reihen konvergieren?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Reihen konvergieren?

a) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2}{k^2+1}} \)

b) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(-1)^k} \) \( \frac{k}{10k+100} \)

c) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k^2}{3^k}} \)


Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand sagen, welche der Reihen konvergieren?

Hat jemand eine Idee, vielleicht sogar mit Begründung?

Vielen Dank!

Comments

Wie wäre es mit Klammern setzen?

Wenn du schon LaTeX benutzt...

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Warten sinnlos, da Fragesteller sich bereits wieder abgemeldet hat.

Daher: Kommentar -> Antwort.

Mit grosser Wahrscheinlichkeit gibt es zudem bereits Duplikate.

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Er probiert sein Glück nun in anderen Foren.

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Vom Duplikat:

Titel: Konvergenz von Reihe bestimmen

Stichworte: konvergenz

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{3^{k}} \)

ich bin mir nicht sicher, ob ich bei der oben eingefügten Reihe die Konvergenz richtig überprüft habe.

Nach meiner Rechnung dürfte die Reihe nicht konvergieren, bin aber auch nicht sicher ob ich richtig vorgegangen bin.

Wie würdet ihr an die Aufgabe gehen?

und

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Wie hast Du denn gerechnet?

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Bin davon ausgegangen, dass sowohl der Nenner als auch Zähler gegen positiv unendlich gehen und somit kann die Reihe nicht konvergieren, da kein Grenzwert vorhanden ist.

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Achso. Da geht es aber nicht direkt um einen Grenzwert, sondern um das Konvergenzkriterium bei einer Reihe. Du solltest ein solches Kriterium verwenden. Die Reihe konvergiert gegen 1,5

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Die ersten 20 Glieder sind ungefähr 0.33333333, 0.77777777, 1.1111111, 1.3086419, 1.4115226, 1.4609053, 1.4833104, 1.4930650, 1.4971803, 1.4988738, 1.4995568, 1.4998278, 1.4999338, 1.4999748, 1.4999904, 1.4999964, 1.4999986, 1.4999995, 1.4999998, 1.4999999. Ich vermute Konvergenz gegen 1,5.

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Majorantenkriterium geht auch, denn bekanntlich gilt \(k^2\le2^k\) für alle \(k\ge4\).

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Diese Antwort ist falsch , bitte als Kommentar ablegen.

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Bitte um Erklärung, was daran genau falsch ist.

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Schau Dir meinen Beitrag an, so wird es gemacht , siehe auch Beitrag

von Gast 2016

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Vom Duplikat:

Titel: Welche der Reihen konvergieren? Rechnung

Stichworte: konvergenz

Aufgabe:

Welche der folgenden Reihen konvergieren?

a) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2}{k^2+1}} \)

b) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(-1)^k} \) \( \frac{k}{10k+100} \)

c) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k^2}{3^k}} \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand sagen, welche der Reihen konvergieren?

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Nicht meine Antwort ist falsch, sondern mein Vorgehen.

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Er ist wieder da:
https://www.mathelounge.de/681069/welche-der-reihen-konvergieren-rechnung
;)

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Diesmal stimmt die Klammerung.

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+sum+k%5E2%2F3%5Ek+from+1+to+infinite

Quotientenkriterium anwenden

Comments

Könntest du mir eventuell Schritt für Schritt erklären, wie man es in diesem Fall anwendet?

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((k+1)^2 * 3^k)/(3*3^k* k^2)

= (k^2+2k+1)/(3*k^2)

Kürzen mit k^2:

(1+2/k+1/k^2)/3 = 1/3

1/3 <1 → Konvergenz

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Was hat das mit dem Wurzelkriterium zu tun? Du meinst eher das Quotientenkriterium.

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Danke. Habs korrigiert. :)

Answer 2

Hallo,

Aufgabe c)

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Comments

Vielen Dank :)

Eine kleine Frage, soll das Zeichen ganz am Ende (zwischen 1/3 und 1 ein Malzeichen sein?

Und wie hast du herausgefunden, dass a) und b) nicht konvergieren?

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Soll das Zeichen ganz am Ende (zwischen 1/3 und 1) ein Malzeichen sein? ->JA

Und wie hast du herausgefunden, dass a) und b) nicht konvergieren?

habe ich noch nicht berechnet