Konvergenz von Teilfolgen

Question

Hallo, ich bin bei folgender Aufgabe etwas verwirrt:

Bestimmen Sie alle Grenzwerte von den konvergenten Teilfolgen der Folge:

a_{n = { \( \frac{2}{n} \) + 2 * (-1)}^{\(\frac{n}{2}\)} wenn n gerade

\( \frac{2}{n+1} \) + 4 * (-1)^{\(\frac{n+1}{2}\)} wenn n ungerade

Mein Verständnisproblem liegt darin, dass wenn ich mir z.B. die Teilfolge für gerade n nehme, darauf komme, dass sie 2 Grenzwerte hat. Also z.B. für n=100 eingesetzt 2,02 und dann n=102 eingesetzt -1,98. Wenn eine alternierende Folge einen Grenzwert hat, muss dieser doch bei 0 sein oder liege ich da falsch? Wenn 2 "Grenzwerte" existieren kann man doch gar nicht von Konvergenz sprechen?

Über Hilfe wäre ich sehr erfreut. LG

Answer 1

wenn ich mir z.B. die Teilfolge für gerade n nehme,

so hat die keinen Grenzwert, sondern zwei Häufigspunkte.

Also musst du deine gewählte Teilfolge erneut in zwei Teilfolgen zerlegen.

Auch bei den ungeraden Indices brauchst du zwei Teilfolgen.

Comments

Soll ich dann für die gerade Folge als Inices 2n und 2n+2 nehmen und bei der ungeraden 2n+1 und 2n+3 ?

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Da würdest du jeweils das Gleiche bekommen.

Du brauchst 4n, 4n+1, 4n+2 und 4n+3.

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Also 4n und 4n+2 für gerade und 4n+1 und 4n+3 für ungerade?

Vielen Dank schonmal!

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Na logisch...........

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Wie siehts denn für n ungerade aus?

Answer 2

Die Teilfolge aller a_n mit geradem n hat keinen Grenzwert ,

wohl aber deren beide Teilfolgen, mit den Indizes

4k+2  und 4k.

a_4k+2 = 2/(4k+2)   + 2 * (-1)^(2k+1) = 2/(2k+2)   - 2   geht gegen -2 und

a_4k = 2/(4k)   + 2 * (-1)^(2k+2) = 1/(2k)  + 2    geht gegen + 2 .

Entsprechend bei den ungeraden.

Comments

Dankeschön! Kann ich dadurch irgendwelche allgemeinen Rückschlüsse auf die Konvergenz der Gesamtfolge machen, nein oder?

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Und wie kamst du bei der Potenz jeweils auf 2k+1 und 2k+2?

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wenn zwei Teilfolgen gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren,

konvergiert die gesamte Folge nicht.

Das mit den geeigneten Exponenten hattest du doch auch schon, hast es nur

nicht korrekt benannt, die Folge aller

Glieder mit geradem Index konvergiert nicht

" gegen 2 Grenzwerte" sondern sie enthält Teilfolgen, die gegen unterschiedliche

Grenzwerte ( 2 und -2 ) konvergieren.